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等比数列前n项和公式推导过程(实用)

关于等比数列 等比数列求和公式 数列求和公式推导过程

  等比数列是数学中一个重要的知识点,那么你知道等比数列的求和公式及其推导过程吗?下面是由出国留学网编辑为大家整理的“等比数列前n项和公式推导过程(实用)”,仅供参考,欢迎大家阅读本文。

  等比数列前n项和公式

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  公式中a1为数列首项,q为等比数列的公比,Sn为前n项和。

  等比数列前n项和公式推导过程

  等比数列前n项和公式:Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

  推导如下:

  因为an=a1q^(n-1)

  所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)

  qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)

  (1)-(2)注意(1)式的第一项不变。

  把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。

  把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。

  以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。

  (2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

  于是得到

  (1-q)Sn=a1(1-q^n)

  即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

  拓展阅读:等比数列的性质

  ①在等比数列{an}{an}中,若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N∗)m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N∗),则am⋅an=ap⋅aq=a2kam⋅an=ap⋅aq=ak2;

  ②若数列{an}{an},{bn}{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0){λan}(λ≠0),{1an}{1an},{a2n}{an2},{an⋅bn}{an⋅bn},{anbn}{anbn}仍然是等比数列;

  ③在等比数列{an}{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,⋯an,an+k,an+2k,an+3k,⋯为等比数列,公比为qkqk;

  ④q≠1q≠1的等比数列的前2n2n项,S偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2S偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2,S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2,则S偶S奇=qS偶S奇=q;

  ⑤等比数列的单调性,取决于两个参数a1a1和qq的取值,an=a1⋅qn−1an=a1⋅qn−1。

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等比数列求和公式推导过程是什么

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  等比数列是高中数学中一个十分重要的知识点,同时也是考试中一个常见的考点。下面是由出国留学网编辑为大家整理的“等比数列求和公式推导过程是什么”,仅供参考,欢迎大家阅读本文。

  等比数列前n项和公式

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  公式中a1为数列首项,q为等比数列的公比,Sn为前n项和。

  等比数列求和公式推导

  方法1:

  第一项:a1, 公比:q

  a1=a1

  a2=a1•q¬

  a3=a1•q¬2

  a4=a1•q¬3

  an=a1•q¬n-1

  an+1=a1•qn¬

  Sn+1=a1+a1•q¬+a1•q¬2+a1•q¬3+…+a1•q¬n-1+ a1•qn¬

  Sn+1=a1+q(a1•q¬+a1•q¬2+a1•q¬3+…+a1•q¬n-1)

  Sn+ a1•qn =a1+q•Sn

  Sn-q•Sn= a1-a1•qn

  Sn= a1•(1- qn)/(1-q)

  方法2:

  (1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

  (2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q

  =a2+a3+a4+...+a(n+1)

  (3)Sn-q*Sn=a1-a(n+1)

  (4)(1-q)Sn=a1-a1*q^n

  (5)Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)

  (6)Sn=(a1-an*q)/(1-q)

  (7)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

  (8)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)

  拓展阅读:等比数列求通项方法

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