高等数学课件

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高等数学课件 篇1

　　第二讲(4课时)Ⅰ.授课题目（章节）

　　§1.2 数列的极限 §1.3 函数的极限 Ⅱ.教学目的与要求

　　1.理解数列极限与函数极限的概念；明确极限是描述变量的变化趋势；了解极限的N,,X定义中的,N,,X的含义

　　2.理解极限的性质 Ⅲ.教学重点与难点：

　　重点：数列极限与函数极限的概念 难点：极限的定义 Ⅳ.讲授内容：

　　§1.1数列极限的定义 一． 列极限的定义

　　定义：设xn为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得n>N时,不等式xna都成立,那么就常数a是数列xn的极限,或者称数列xn收敛与a,记为limxnna或xna(n).如果不存在这样的常数a,就说数列xn没有极限,或者说数列xn是 发散的,习惯上也说lim存在.143n(1)例1.证明数列2，，,234nn1xnn不,的极限是1.证:xna1n1n1n(1)nn111n,为了使xna小于任意给定的正数,只要或.所以,n(1)10,取N,则当n>N时,就有

　　nn1

　　n例2.设q1,证明等比数列1,q,q2,,qn1,的极限是0.证:0（设,1),因为

　　xn0qn10qn1,要使xn0,只要qn1取自

　　lnlnq然对

　　数,得(n1)lnqln.因q1,lnq0,故n1,取N1ln,则当nN时,lnq就有qn10,即limqn10.n

　　二． 敛数列的性质

　　定理1（极限的唯一性）：如果xn收敛，则它的极限唯一

　　证明 用反证法.假设同时有xna及xnb,且ab.取limxna,故正整数N1,当nN1时,不等式xnanab2.因为

　　ba2都成立.同理,因为

　　ba2limxnb,故正整数N2,当nN2时,不等式xnbn都成立.取NmaxN1,N2(这式子表示N是N1和N2中较大的那个数),则当nN时,(2)式及(3)式会同时成立.但由(2)式有xn这矛盾证明了本定理的断言.数列的有界性概念

　　ab2,由(3)式有xnab2，这是不可能的.定义：对于数列xn,如果存在着正数M ,使得对于一切xn都满足不等式xnM,则称数列xn是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列xn是无界的.定理2（收敛数列的有界性）如果xn收敛，则数列xn一定有界 定理3：（收敛数列的保号性）

　　如果limxna且a>0（或a0，当n>N时，都有xn>0（或xn

　　n推论：如果xn从某项起有xn0（或xn0）且limxna,则a0(或a0)

　　n子数列的概念：...