2014年安庆二模考试理科数学试题及答案

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　　2014年安庆市高三模拟考试(二模)

　　数学试题(理科) 参考答案及评分标准

　　一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

　　题号12345678910答案ADCBDBCBBA1. 解析：，，选A.

　　2. 解析：,则,阴影部分表示的集合为，选D.

　　3. 解析：由得，所以，，选C.

　　4. 解析：设图中甲、乙丢失的数据分别为，则，，∵，∴,选B.

　　5. 解析：多面体为四棱锥，利用割补法可得其

　　体积，选D.

　　6. 解析：直线的方程为，圆的方程为，圆心到直线的距离为1，故圆上有2个点到距离为1，选B.

　　7. 解析：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，，，且不妨设，由 ，得，.又，∴，

　　∴，即，解得，选C.

　　8. 解析：设，，则等于1或-1，由，知共有3个1，1个-1.这种组合共有个，选B.

　　9. 解析：由已知有，作出可行域，令，则的最小值为点到直线的距离，此时，所以的最小值为，选B.

　　10. 解析：令，则，所以函数为增函数，∴，∴，∴.又，

　　∴，选A.

　　11. 解析：∵ 的展开式所有项的系数和为，∴ ，

　　∴，

　　其展开式中含项的系数为.

　　12. 解析：由及正、余弦定理知：，整理得，由联立解得：.

　　13. 解析：当输出的时，，设输入的值为,, 且,解得.最大值为.

　　14. 解析：函数有三个零点等价于方程有且仅有三个实根. ∵，作函数的图像，如图所示，由图像可知应满足：，故.

　　15. 解析：显然①正确;，∵，所以②错误;由得,所以，所以，故③正确;∵，所以④错误;根据夹角公式，又，得，即 ，⑤正确

　　所以正确的是①、③、⑤.

　　16.(本题满分12分)

　　解析：(Ⅰ)

　　…………4分

　　由于得：，所以.

　　所以的图像的对称中心坐标为 …………6分

　　(Ⅱ)=，列表：

　　描点、连线得函数在上的图象如图所示：

　　17.(本题满分12分)

　　解答：设“教师甲在点投中”的事件为，“教师甲在点投中”的事件为.

　　(Ⅰ)根据题意知X的可能取值为0,2,3,4,5,7

　　，

　　…………6分

　　X023457P所以X的分布列是：

　　…………8分

　　(Ⅱ)教师甲胜乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五种情形.

　　这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为：

　　…………12分

　　18.(本题满分12分)

　　解析：(Ⅰ) ，

　　由知，

　　①当时，，在上递增，无最值;

　　②当时，的两根均非正，因此，在上递增，无最值;

　　③当时，有一正根，在上递减，在上递增;此时，有最小值;

　　所以，实数的范围为. …………7分

　　(Ⅱ)证明：依题意：，

　　由于，且，则有

　　. …………12分

　　19.(本题满分13分)

　　解答：(Ⅰ)∵平面垂直于圆所在的平面，两平面的交线为，平面，，∴垂直于圆所在的平面.又在圆所在的平面内，∴.∵是直角，∴，∴平面,∴.

　　…………6分

　　(Ⅱ) 如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.由异面直线和所成的角为，知，

　　∴，

　　∴，由题设可知，，∴，.设平面的一个法向量为，

　　由，得，，取，得.

　　∴.又平面的一个法向量为，∴.

　　平面与平面所成的锐二面角的余弦值. …………13分

　　20.(本题满分13分)

　　解析：(Ⅰ)根据已知条件有，且，故椭圆的长轴在轴上.

　　，当且仅当时取等号.

　　由于椭圆的离心率最小时其形状最圆，故最圆的椭圆方程为.

　　…………5分

　　(Ⅱ)设交点，过交点的直线与椭圆相切.

　　(1)当斜率不存在或等于零时，易得点的坐标为.…………6分

　　(2)当斜率存在且非零时，设斜率为，则直线：，

　　与椭圆方程联立消，得：.

　　由相切，，

　　化简整理得. ①

　　因过椭圆外一点有两条直线与椭圆相切，由已知两切线垂直，故，而为方程①的两根，

　　故，整理得：.

　　又也满足上式，

　　故点的轨迹方程为，即点在定圆上. ………13分

　　2.(本题满分13分)

　　解析：(Ⅰ)若，则，

　　由，

　　得 或，所以只需 或.

　　所以实数的取值范围为. …………6分

　　(Ⅱ) 对任意成立的充要条件为.

　　必要性：由，解出;

　　(另解：假设，得，令， ，可得：，即有.) …………8分

　　充分性：数学归纳法证明：时，对一切，成立.

　　证明：(1)显然时，结论成立;

　　(2)假设时结论成立，即，

　　当时，.

　　考察函数，，

　　① 若 ，由，知在区间上单调递增.由假设得.

　　② 若，对总有，

　　则由假设得.

　　所以，时，结论成立，

　　综上可知：当时，对一切，成立.

　　故对任意成立的充要条件是.