2015武汉武昌区高三元月调考数学理试题及答案

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武昌区2015届高三年级元月调研考试
理 科 数 学 试 卷
本试题卷共5页，共22题。满分150分，考试用时120分钟
★祝考试顺利 ★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置。
2．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。
3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卷指定区域外无效。
4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．i为虚数单位，若  ,则
A．1              B．           C．                D．2
2．已知 , ，“存在点 ”是“ ”的
A．充分而不必要的条件         B．必要而不充分的条件
C．充要条件                   D．既不充分也不必要的条件
3．若 的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为
A．1              B．2          C．3               D．4
4．根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7
y 4.0 2.5  0.5
0.5  2.0

得到的回归方程为 .若 ，则 每增加1个单位， 就
A．增加 个单位    B．减少 个单位       
C．增加 个单位    D．减少 个单位 
5.如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面 上.用一平行于平面 的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）.设截面面积分别为 和 ，那么
A．          B． =        C．            D．不确定

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是
A．24+ 和40     
B．24+ 和72     
C．64+ 和40    
D．50+ 和72  

7．已知x，y满足约束条件 若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为
A.12或－1       B．2或12       C．2或1       D．2或－1
8．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,—1)，B( ,—1)，C( ,1)，D(0,1)，正弦曲线f(x)=sinx和余弦曲线g(x)=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是
A．       
B．            
C．           
D．  
9．抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是抛物线上的两个动点，且满足 ．设线段 的中点 在 上的投影为 ，则 的最大值是
A．              B．           C．                D．
10．已知函数 是定义在R上的奇函数，它的图象关于直线 对称，且  .若函数 在区间 上有10个零点（互不相同），则实数 的取值范围是
A．       B．      C．      D． 

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
（一）必考题（11—14题）
11．已知正方形 的边长为 , 为 的中点,  为 的中点,则 _______.

12．根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是_______.

13.设斜率为 的直线 与双曲线 交于不同的两点P、Q，若点P、Q在 轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是      .
14. “渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）.
   （Ⅰ）共有          个五位“渐升数”（用数字作答）；
   （Ⅱ）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是      .
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.）
15．（选修4-1：几何证明选讲）
过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________．
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线 的参数方程是 （ 为参数，a为实数常数），曲线 的参数方程是 （ 为参数，b为实数常数）．以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 . 若 与 分曲线 所成长度相等的四段弧，则           .
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分11分）
已知函数 的在区间 上的最小值为0.
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）当 时，求使 成立的x的集合.

18．（本小题满分12分）
 已知等差数列{an}的首项为1，前n项和为 ，且S1，S2，S4成等比数列．
    （Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 为数列 的前 项和，是否存在正整数n，使得 ？若存在，求 的最大值；若不存在，说明理由.

19．（本小题满分12分）
如图,在棱长为2的正方体 中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF.
（Ⅰ）求证：A1F⊥C1E；
（Ⅱ）当三棱锥 的体积取得最大值时，求二面角 的正切值.

20．（本小题满分12分）
对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：
日车流量x 
 
 
 
 
 

频率 0.05 0.25 0.35 0.25 0.10 0
将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列和数学期望．

21．（本小题满分14分）
已知椭圆C： 的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线 上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
（ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求 的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当 最小时，求点T的坐标．

22．（本小题满分14分）
已知函数 (a为常数)，曲线y＝f(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为－1.
(Ⅰ)求a的值及函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)证明：当 时， ；
(Ⅲ)证明：当 时， .

武昌区2015届高三年级元月调研考试
理科数学参考答案及评分细则
一、选择题：
1．A    2．B     3．B    4．B    5.B    6．C    7．D     8．B     9．C    10．C
二、填空题：
11． 0　        12． an＝2n，或aN＝2N            13.  
14.（Ⅰ）126；（Ⅱ）34579      15． 4        16． 2
三、解答题：
17．解：（Ⅰ）因为 ，所以 .
因为 时， ，所以 时 的取得最小值 .
依题意， ，所以 ；…………………………………………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .
要使 ，即 .
所以 ，即 .
当 时， ；当 时， .
又 ，故使 成立的x的集合是 .………………………………（11分）
18．解：（Ⅰ）设数列 的公差为 ，依题意，1， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，所以 或 .
因此，当 时， ；当 时， .……………………………………………（6分）
（Ⅱ）当 时， ，此时不存在正整数n，使得 ；
当 时，
  .
由 ，得 ，解得 .
故 的最大值为1006. …………………………………………………（12分）
19．解：设 .以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：
 ， ， ， ， , ， , ,
 , .
（Ⅰ）因为 ， ，
所以 .
所以 .………………………………………（4分）
（Ⅱ）因为 ，
所以当 取得最大值时，三棱锥 的体积取得最大值.
因为 ，
所以当 时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B1-BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为 , .
设平面 的法向量为 ，
则 得
取 ，得 .显然底面 的法向量为 .
设二面角 的平面角为 ，由题意知 为锐角.
因为 ，所以 ，于是 .
所以 ，即二面角 的正切值为 .………………………………（12分）
20．解：（Ⅰ）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则
P(A1)＝0.35＋0.25＋0.10＝0.70，P(A2)＝0.05，
所以P(B)＝0.7×0.7×0.05×2＝0.049. …………………………………………………（6分）
（Ⅱ） 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为
 ， ，
 ， .
X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
因为X～B(3，0.7)，所以期望E(X)＝3×0.7＝2.1. ……………………………………………（12分）
21．解：（Ⅰ）由已知可得 解得a2＝6，b2＝2.
所以椭圆C的标准方程是 . …………………………………………………（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标是(2，0).
设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得x＝my+2，x26＋y22＝1.
消去x，得(m2＋3)y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝-4mm2＋3，y1y2＝－2m2＋3.于是x1＋x2＝m(y1＋y2)+4＝12m2＋3.
设M为PQ的中点，则M点的坐标为 .
因为 ，所以直线FT的斜率为 ，其方程为 .
当 时， ，所以点 的坐标为 ，
此时直线OT的斜率为 ，其方程为 .
将M点的坐标为 代入，得 .
解得 .                     ………………………………………………（8分）
（ⅱ）由（ⅰ）知T为直线 上任意一点可得，点T点的坐标为 .
于是 ，
 
 
  .
所以
 
  .
当且仅当m2＋1＝4m2＋1，即m＝±1时，等号成立，此时|TF||PQ|取得最小值 ．
故当|TF||PQ|最小时，T点的坐标是(3，1)或(3，－1)．………………………………………………（14分）
22．解：（Ⅰ）由 ，得 .
又 ，所以 .所以 ， .
由 ，得 .
所以函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增. ……………………（4分）
 (Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知 .
所以 ，即 ， .
令 ，则 .
所以 在 上单调递增，所以 ，即 .…………（8分）
 (Ⅲ)首先证明：当 时，恒有 .
证明如下：令 ，则 .
由(Ⅱ)知，当 时， ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 .
所以 ，即 .
依次取 ，代入上式，则
 ，
 ，
 
 .
以上各式相加，有
所以 ，
所以 ，即 .………（14分）
另解：用数学归纳法证明（略）
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