高中数学选修1-1《变化率与导数》教案【一】
一、内容和内容解析
本节内容选自课标实验教材人教A版，是导数的起始课，主要内容有变化率问题和导数的概念。
导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。
大纲教材中导数概念学习的起点是极限，这种建立概念的方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质理解。
课标教材则不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴涵着极限的描述性定义)，这种直观形象的方法中蕴含了逼近的思想，这样定义导数的优点是：
1.使学生将更多精力放在导数本质的理解上;
2.学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义.
基于上述分析，本节课的教学重点是：丰富学生的感性经验，运用逼近的思想方法引导学生探索理解导数的思想及内涵。
二、目标和目标解析
1.通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵;
2.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会逼近的思想方法; 3.经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。通过概念的形成过程体会从特殊到一般的数学思想方法。
三、教学问题诊断分析
1.吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键之一。对于吹气球问题要用函数的观点分析变化过程中的自变量和函数值，自然地引导学生建立半径r关于体积V的函数关系式;在吹气过程中要注意观察或者想象，并把实际操作转化为相应的数学语言，比如当吹入差不多大小相同的一口气时，是指气球的体积的增量相同等。
2.对于利用平均速度解决瞬时速度的问题还是第一次，很难做到一次到位，因此，“从平均变化率向瞬时变化率的过渡”是本节课的一个难点;同时，这个问题所涉及到的“逼近”思想，学生虽然在数学1“二分法”的学习中已经有所接触，但是没有经过反复练习，运用起来还是有一定难度，所以，“逼近”思想的渗透、“逼近”方法的应用将是本节课的一个难点。
基于上述分析本节课的教学难点是：帮助学生理解气球平均变化率问题和“逼近”的思想方法的应用。
四、教学支持条件分析
在教学中适时地使用信息技术，充分发挥信息技术的优势，帮助学生更好地理解概念 1.通过将计算结果实物投影，让学生积极主动地参与到课堂中来，使学生保持高水平的思维活动;
2.通过几何画板演示，使学生对概念的理解更直观，生动。
五、教学过程设计
1.创设情境、引入新课
教师介绍：微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要方法和手段。在本章中，学生将通过大量的实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，那么，我们先来研究变化率的问题，引出新课。
设计意图：充分挖掘章引言的教学价值，它说明了三方面的问题：首先，简明的指出了函数和微积分的关系;其次，概述了微积分的创立史及它的地位;第三，概述本章的学习内容。
2.实例探索，引出概念
问题1：大家可能有过吹气球的经验。在吹气球的过程中，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。这个过程中的自变量和函数值分别是谁?试建立它们之间的函数关系，从数学角度如何描述上述变化过程呢?
设计意图：通过分析生活实例，提炼数学模型，为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。
师生活动：回忆吹气球的过程(或者让学生现场吹气球)，建立半径r关于体积V的函
数关系：r(V)?
r(V2)?r(V1)
。通过观察和计算，用数据解释上述现象，并通过几何画板演示，更逼真的
V2?V1
感受上述现象。图1直观地演示了当球的体积增大(黑色部分面积变大，绿色越来越薄)时，半径增大越来越小。图2演示当A，B两点向右运动时，自变量的增量保持不变，但是平均变化率越来越小。
图1
问题2 怎样才能更准确的描述运动员的运动状态呢?
设计意图：分析实例，抽象数学模型，为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景，并使学生初步感受平均变化率的不足，激发进一步探求新知的欲望。
师生活动：
问题2
中的平均变化率计算公式v?
h(t2)?h(t1)
t2?t1
并借助于几何画给予直观解释。
3.分析归纳，得到概念
问题3 对比问题1和问题2中的平均变化率计算关系式，他们有什么共同特点?对于一般函数f(x),如何计算其平均变化率?
设计意图：让学生结合两个实例，对比、分析，抽象概括出一般形式，经历由特殊到一般的数学过程。
师生活动：学生讨论，分析，归纳根据前面的实例，得到结论：
f(x2)?f(x1)称为函数f(x)从x1到x2的平均变化定义：一般地,函数y=f(x)中，式子21f(x2)?f(x1)?y率，则 ?
x2?x1?x
其中△x 、△ y 的值可正、可负，但△x值不能为0， △ y 的值可以为0。
x?x
若函数f(x)为常函数时， △ y =0。 变式：
f(x)?f(x)f(x?? x)?f(x)
?
x?x? x
2
1
1
1
2
1
。
21
?问题4 观察函数f(x)的平均变化率，结合直线的斜率分析平均
f(x)?f(x)
x2?x1
?y?x
变化率的几何意义是什么?
图4
设计意图：从几何角度得到平均变化率的几何意义，体现数形结合的思想。
r(v0??v)?r(v0)。 ?v?0?vlim
问题8 对于一般函数f(x)在x?x0处的瞬时变化率如何表示呢?
设计意图：引导学生舍弃具体问题的实际意义，抽象得出函数在某点处的瞬时变化率，即导数，帮助学生实现认识上的飞跃。
师生活动：在前面两个问题的基础上提出导数的概念：
一般地，函数f(x)在x?x0处的瞬时变化率是：
lim
y?|f?(x0)?lim称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f?(x0)或 x ?x ，即：?x?00?x?0f(x?Δx)?f(x) ?y?lim? x? x00 ?x?0 f(x0?Δx)?f(x0) .? x
5.自主归纳，提升认识
问题9：通过本节课的学习你有哪些收获?
设计意图：通过小结帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，更好地理解本节课的知识和思想方法。
师生活动：在学生自主小结的基础上揭示函数思想、逼近思想方法，概念形成过程中的抽象概括。
六、目标检测设计
1.将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果
2?在第x h时候，原油温度(单位：c)为f(x)?x?7x?15(0?x?8)。
(1)计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。
(2)计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。
2.已知一个物体运动的位移(m)与时间t(s)满足关系S(t)=-2t2+5t
(1)求物体第5秒和第6秒的瞬时速度。
(2)求物体在t时刻的瞬时速度。
(3)求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动?
设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律。
高中数学选修1-1《变化率与导数》教案【二】
教学准备
1. 教学目标
(1)理解平均变化率的概念.
(2)了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.
(3)理解导数的概念
(4)会求函数在某点的导数或瞬时变化率.
2. 教学重点/难点
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解
教学难点：会求简单函数y=f(x)在x=x0处的导数
3. 教学用具
多媒体、板书
4. 标签
教学过程
一、创设情景、引入课题
【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。
【板演/PPT】
【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
【板演/PPT】
让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。
【设计意图】自然进入课题内容。
二、新知探究
[1]变化率问题
【合作探究】
探究1 气球膨胀率
【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
【板演/PPT】
【活动】
【分析】
当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(1)当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为
0.62>0.16
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.
【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
解析：
探究2 高台跳水
【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
(请计算)
【板演/PPT】
【生】学生举手回答
【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。
【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10
【设计意图】两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。
探究3 计算运动员在
这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
(1)运动员在这段时间里是静止的吗?
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
【板演/PPT】
【生】学生举手回答
【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.
【活动】师生共同归纳出结论
平均变化率:
上述两个问题中的函数关系用y=f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子
我们把这个式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.
习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δy=f(x2)-f(x1)，于是，平均变化率可以表示为：
【几何意义】观察函数f(x)的图象，平均变化率的几何意义是什么?
探究2 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1.
从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s.
为了表述方便，我们用xx表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.
【瞬时速度】
我们用
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。那么,运动员在某一时刻 的瞬时速度?
【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：△t越小，V越接近于t=2秒时的瞬时速度。
探究3:
(1).运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
(2).函数f(x)在 x = x0处的瞬时变化率怎样表示?
导数的概念:
一般地，函数 y = f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f(x) 在 x = x0 处的导数, 记作
或,
【总结提升】
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
[3]例题讲解
例题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 y=f (x) = x2–7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 /h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 /h的速率上升.
[4]本节课知识总结
1.函数的平均变化率
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
(2)计算平均变化率
3、求物体运动的瞬时速度：
(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
(3)求极限
4、由导数的定义可得求导数的一般步骤：
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0
)
(2))平均变化率
(3)求极限
三、复习总结和作业布置
[1] 课堂练习
1.函数y=f(x)的自变量x由x0改变到x0+Δx时，函数值的改变量Δy为 ( ) A.f(x0+Δx)B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·Δx
D.f(x0+Δx)-f(x0)
2.若一质点按规律s=8+t2运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是 ( ) A.4 B.4.1
C.0.41 D.-1.1 3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。
4.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1，1)和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
课堂练习【参考答案】
1. D
解析：分别写出x=x0和x=x0+Δx对应的函数值f(x0)和f(x0+Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，故应选D.
2. B
解析：
3.解析：