高中数学选修1-1《生活中的优化问题举例》教案
教学目标：
1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量 与自变量 ，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式 ，根据实际问题确定函数 的定义域;
2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答.
重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。
难点：在实际问题中，有 常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值。
教学方法：尝试性教学
教学过程：
前置测评：
(1)求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程.
(2)若曲线y=x3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。
【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题
例1.汽油的使用效率何时最高
材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高(汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少)呢?
通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量 g(L/h)与汽车行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系g=f(v) 如图3.4-1，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v 为多少时，汽油的使用效率最高?
解：因为G=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v
这样，问题就转化为求g/v的最小值，从图象上看，g/v
表示经过原点与曲线上点(v,g)的直线的斜率。继续观察图像，我们发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小，在此点处速度约为90km/h，从树枝上看，每千米的耗油量就是途中切线的斜率，即f’(90),约为0.67L.
例2.磁盘的最大存储量问题
【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特(bit)。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于 ，每比特所占用的磁道长度不得小于 。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
问题：现有一张半径为 的磁盘，它的存储区是半径介于 与 之间的环形区域.
是不是 越小，磁盘的存储量越大?
为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?
解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于 与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于 ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达 。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达 。所以，磁盘总存储量
×
(1)它是一个关于 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是 越小，磁盘的存储量越大.
(2)为求 的最大值，计算 .
令 ，解得
当 时， ;当 时， .
因此 时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为
例3. 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?
(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大?
【背景知识】 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大?
(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小?
【引导】 先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.
(1)半径为 cm 时，利润最小，这时 ，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值.
(2)半径为 cm时，利润最大.
【思考】根据以上三个例题，总结用导数求解优化问题的基本步骤.
【总结】(1)认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量 与自变量 ，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式 ，并确定函数的定义区间;
(2)求 ，解方程 ，得出所有实数根;
(3)比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，
根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。
作业：P114习题3.4第2、4题
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