高中数学选修1-2《数系的扩充和复数的概念》教案【一】
教学准备
教学目标
知识与技能
1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要
2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件
过程与方法
1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律
2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式
情感态度与价值观
1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用
2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法
教学重难点
重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件
难点：虚数单位i的引进和复数的概念
教学过程
(一)问题引入
事实上在实数范围内x和y确实不存在?为什么会这样呢?假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢?我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》
(二)回顾数系的扩充历程
师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。大家记得吗?从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。
(三)类比，引入新数，将实数集扩充
1、类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法
生：引入新数，使得平方为负数
师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢?
2、历史重现：
3、探究复数的一般形式：
(四)新的数集——复数集
1.复数的定义(略)
2.复数的应用：复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，是进一步学习数学的基础。
(五)复数的分类
(六)复数相等的充要条件
复数相等的充要条件可以把复数相等的问题转化为求方程组的解的问题，是一种转化的思想。
课后小结
1、由于实际的需要，我们总结数的三次扩充过程的规律，运用类比的方法，我们引进了新的数i，并将实数集扩充到了复数集，认识到了复数的代数形式，并讨论了复数的分类及复数相等的充要条件，并且利用相等的条件把复数问题转化为方程组的解的问题
2、那么，复数究竟是什么东西呢?能不能像实数一样在现实中找到它的影子呢?别急，我们的探索脚步并不会停止下去，这是我们下次将要探索的内容。
课后习题
1、习题3.1 A组第1、2题
2、课后探究复数能不能比较大小，为什么?(可查资料)
高中数学选修1-2《数系的扩充和复数的概念》教案【二】
学习目标：
1、了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数的单位i
2、理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3、理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念
学习重点：
复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.
学习难点：
虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.liuxue86.com复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立。
自主学习
一、知识回顾：
数的概念是从实践中产生和发展起来的 ，由于计数的需要，就产生了1，2及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数;为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集。
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集
因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=-1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于-1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数 ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数
二、新课研究：
1、虚数单位 :
(1)它的平方等于-1，即 ;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2. 与-1的关系: 就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是- !
2、 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1
3、复数的定义：形如 的数叫复数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
4、复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即 ，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数 ，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
6、复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.
7、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d
复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗?不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
例题讲解
例1 请说出复数 的实部和虚部，有没有纯虚数?
答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，-3，0，- ;虚部分别是3， ，- ，- ;- i是纯虚数.
例2 复数-2i+3.14的实部和虚部是什么?
答：实部是3.14，虚部是-2.
易错为：实部是-2，虚部是3.14!
例3 实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m-1)i是:
(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
[分析]因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值.
解：(1)当m-1=0，即m=1时，复数z是实数;
(2)当m-1≠0，即m≠1时，复数z是虚数;
(3)当m+1=0，且m-1≠0时，即m=-1时，复数z 是纯虚数.
例4 已知(2x-1)+i=y-(3-y)i，其中x，y∈R，求x与y.
解：根据复数相等的定义，得方程组 ，所以x= ，y=4
课堂巩固
1、设集合C={复数｝，A={实数｝，B={纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是( )
A.A∪B=C B. A=B C.A∩ B= D.B∪ B=C
2、复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数，则实数x满足( )
A.x=- B.x=-2或- C.x≠-2 D.x≠1且x≠-2
3、复数z1=a+|b|i，z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R)，则z1=z2的充要条件是______.
4、已知m∈R，复数z= +(m2+2m-3)i，当m为何值时，(1)z∈R; (2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z= +4i.
归纳反思
课后探究
1、设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.
2、若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.
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