何时菱形面积最大
湖北省安陆市洑水初中 王官清
菱形是特殊的平行四边形，它具有很多特殊性。在研究其边、角、对角线的性质时，我们还经常关注其面积。在引导学生如何在矩形内作出面积最大的菱形问题时，学生由自负到疑惑到自信，实际上反映了学生对事物的认识由肤浅到深刻的过程。下面是课堂部分实录。
问题的提出：
有一块长4m和宽3m的矩形土地，要在矩形土地上开辟一个最大的菱形花圃，请你试画出这个图形，并求出这个花圃的面积是多少。
问题的探究：
课堂上提出这个问题后，同学们兴高采烈，跃跃欲试，拿起笔在草稿纸上画图、分析、计算，不时还互相讨论。巡视课堂，发现许多同学首先想到的是：作矩形的中点四边形，即取矩形ABDC四边的中点E、F、G、H，顺次连接成四边形，得到菱形EFGH，如图1. 根据菱形的面积计算公式（菱形面积等于其对角线乘积的一半），不难计算出这个菱形的面积是6平方米（为矩形面积的一半）。大多数学生认为这就是此题的答案。
教师点拨
：上述菱形的面积一定最大吗？
大多数学生听到提出的这个问题，一开始瞪大眼睛不解地看着我，然后又开始观察图形进行思考，动笔画图，分析计算。
经过一段时间的思考，一个学生提出了一个新的想法：如图2，作特殊的菱形（正方形）EFGH， 其边长为矩形的宽3
，易计算其面积为9平方米。这个特殊的菱形的面积就比图1中的菱形的面积大。这个方案也合乎题目要求。得到了大多数同学的认可。
教师趁热打铁
：也许还能够作出比图2中菱形面积更大的菱形，我们不妨再深入的思考一下。
有的学生认为：不可能再有比图2中菱形面积更大的情况了！（学生之间的讨论和争论开始热烈起来）
师：我们知道，菱形的面积等于菱形的对角线的积的一半。图1 中菱形的对角线分别是4m和3m，图2中菱形的对角线相等EG=FH=
。
那么在矩形中还有不有可能作出的菱形的对角线比以上两种情况更大的呢？
学生：怎样想办法把图1 中的菱形的对角线EG、FH变长一些？
经过思考，终于有学生自信的站起来，提出了如下新的想法：把图1中两条对角线同时绕点O顺时针旋转，对角线FH的长度逐渐增大，EG也逐渐增大，当菱形的对角线FH与矩形的对角线AD重合时，如图3，对角线FH为最长了. 这时菱形EFGH的面积可以认为是最大的情况。
这位同学的想法得到全班同学的掌声。老师也赞许的微笑点头。
师：这位同学的想法值得肯定，他用运动的观点来分析问题非常好。
事实上，上述问题中，我们可以发现菱形的任意一条对角线的长度的取值范围是
，我们可以通过几何画板演示给同学们观察。图1中，是菱形面积最小时的情况，当菱形两条对角线从图1位置顺时针旋转到图3位置时，菱形面积达到最大。
问题的解决：
1. 图3中菱形的面积的2种求法：
方法1
如图3，菱形对角线FH与矩形对角线AD重合，
所以
，
其中AB是个定值，考虑到
，则
，
设FG的长为
，则BG=
，在直角三角形FGB中，根据勾股定理，有 
，
，
(
)。
方法2
，
根据勾股定理得FH=5m， 由方法1知FG=
， 在直角三角形ABG中，AO=
， AG=， ∴
， ∴. 
，
所以上述问题的答案应该是：菱形花圃的最大面积是
。
2. 图3中菱形面积一定最大吗
为什么图3 是菱形面积最大的情况？下面给予简略证明。
矩形内接菱形根据菱形顶点在矩形上位置的情况分为两类情形：
情形1 菱形有两个顶点在矩形的同一边上，如图3-1
假设此时菱形的面积不小于图3中菱形的面积，即
，
过F作FM⊥AC于M，过H作HN⊥BD于N， 则HN=FM=AB=3。
∴
，∴
∵FG=HG，∴
，
∴
，即
， 于是
，即FN≥4 . 结合图3-1， 显然这与FN<4矛盾。
所以假设不成立。
情形2. 菱形的四个顶点分别在矩形的四条边上，如图3-2.
作以
BC为对角线的菱形MBNC， 易证四边形AFOE和四边形ABOM四点共圆，∴∠OEF=∠OAB=∠OMB，∴
。∴
。 ∵矩形ABCD上任意两点之间的线段以对角线最长，∴
， 
，
就是， ∴
，∴
。 ∴
。
故直角三角形EBO的面积大于直角三角形EFO的面积，从而菱形BNCM的面积大于菱形EFGH的面积。
综合上述两种情况，可知矩形ABCD的内接菱形的面积最大为。
教学反思：
1.许多学生作出图1的菱形后就以为大功告成，这是没有认真分析，深入探究造成的。平时教学应该多引导学生养成深入思考认真探究问题的习惯，提高分析问题解决问题能力。
2.学生对为什么图3的情况是菱形面积最大的情形，关注不够，说明学生对问题的思考缺乏应有的深刻性。这也是数学教师教学过程中应该特别注意的问题。
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