2012中考数学考点 小正方体计数

三视图中的小正方体计数问题

湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

通过小正方体组合图形的三视图，确定组合图形中小正方体的个数，在中考或竞赛中经常会遇到。解决这类问题如果没有掌握正确的方法，仅仅依赖空间想象去解决，不仅思维难度很大，还很容易出错。

通过三视图计算组合图形的小正方体的个数，关键是要弄清楚这个小正方体组合图形共有多少行、多少列、每行每列中各有多少层，理清了这些行、列、层的数量，小正方体的个数就迎刃而解了。在三视图中，通过主视图、俯视图可以确定组合图形的列数；通过俯视图、左视图可以确定组合图形的行数；通过主视图、左视图可以确定行与列中的最高层数。

以上方法可简要地概括为：“主俯看列，俯左看行，主左看层，分清行列层，计数不求人。”

一、结果唯一的计数

例1　在一仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来，如图所示，则这堆正方体货箱共有（     ）。

A．9箱     B．10箱      C．11箱      D．12箱

分析：由三视图可知，这堆货箱共有从前到后3行，从左到右3列。由左视图：第一行均为1层，第二行最高2层，第三行最高3层；由主视图：第一列、第三列均为1层，第二列（中间列）最高为3层。故第二行、第二列为2层，第三行第二列为3层，其余皆为1层。各行、各列小正方体的个数如俯视图中所表示。这堆货箱共有3+1+1+2+1+1=9（箱）。

二、结果不唯一的计数

例2（“希望杯”数学邀请赛试题）如图2，是由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（      ）。

分析：由给出的主视图、俯视图可以看出，该几何体共有2行，3列。第1列均为1层，第2列最高2层，第3列最高3层。

左视图为A时，第1行、第2行最高均为3层。几何体中，第1列第1行为1层；第2列第1行、第2行均可为1层或2层，，但不能同时为1层；第3列两行均为3层。此时，小正方体的个数如俯视图A所示，最少为1+2+1+3+3=10（个），最多为1+2+2+3+3=11个。

左视图为B时，第一行均为1层，第二行最高为3层。几何体中，第1列第1行为1层；第2列第1行为1层，第2行均可为2层；第3列第1行为1层，第2行为3层。此时，小正方体的个数如俯视图B所示。小正方体个数为1+1+1+2+3=8（个）。

左视图为C时，第1行最高为2层，第2行最高为3层。几何体中，第1列第1行为1层；第2列第1行为1层或2层，第2行均为1层或2层，但不能同时为1层；第3列第1行为1层或2层（不能与第2列第1行同时都为1层），第2行为3层。此时，小正方体的个数如俯视图C所示。小正方体最少为1+2+1+1+3=8（个），最多为1+2+2+2+3=10个。

左视图为D时，第1行最高为3层，第2行最高为2层。几何体中，第1列第1行为1层；第2列第1行为1层或2层，第2行均为1层或2层，但不能同时为1层；第3列第1行为3层，第2行为1层或2层（不能与第2列第2行同时为1层）。此时，小正方体的个数如俯视图C所示。小正方体最少为1+1+3+2+1=8（个），最多为1+2+2+2+3=10个。

三、根据两种视图确定计数范围

例3（江阴市中考题）如图，是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图，若组成这个几何体的小正方体的块数为n，则n的所有可能的值之和为        。

分析：题设中给出了主视图、俯视图，可知这个几何体有3列，2行。第1列均为1层，第2列最高2层，第3列最高3层。

几何体小正方形块数最少的情况是：第1列只有1行，共1个小正方体；第2列两行，至少有一行为2层，最少有2+1=3个小正方体，第3列两行中至少有一行为3层，最少有1+3=4个正方体。因此几何体最少块数为1+3+4=8块。

几何体小正方形块数最多的情况是：第1列只有1行，共1个小正方体；第2列两行，均为2层，共有2+2=4个小正方体，第3列两行均为3层，共有3+3=6个正方体。因此几何体最少块数为1+4+6=11块。

故n的所有可能值为8，9，10，11，所有可能值之和为8+9+10+11=38。

作者简介：宋毓彬，男，