极限课件推荐

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极限课件【篇1】

　　数列的极限 教学设计

　　西南位育中学 肖添忆

　　一、教材分析

　　《数列的极限》为沪教版第七章第七节第一课时内容，是一节概念课。极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为极限理论是微积分学中的基础理论，它的产生建立了有限与无限、常量数学与变量数学之间的桥梁，从而弥补和完善了微积分在理论上的欠缺。本节后续内容如：数列极限的运算法则、无穷等比数列各项和的求解也要用到数列极限的运算与性质来推导，所以极限概念的掌握至关重要。

　　课本在内容展开时，以观察n时无穷等比数列an列anqn,(|q|1)与an1的发展趋势为出发点，结合数n21的发展趋势，从特殊到一般地给出数列极限的描述性定义。在n由定义给出两个常用极限。但引入部分的表述如“无限趋近于0，但它永远不会成为0”、“不管n取值有多大，点（n，an）始终在横轴的上方”可能会造成学生对“无限趋近”的理解偏差。

　　二、学情分析

　　通过第七章前半部分的学习，学生已经掌握了数列的有关概念，以及研究一些特殊数列的方法。但对于学生来说，数列极限是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡的阶段。

　　由于已有的学习经验与不当的推理类比，学生在理解“极限”、“无限趋近”时可能产生偏差，比如认为极限代表着一种无法逾越的程度，或是近似值。这与数学中“极限”的含义相差甚远。在学习数列极限之前，又曾多次利用“无限趋近”描述反比例函数、指数函数、对数函数的图像特征，这又与数列中“无限趋近”的含义有所差异，学生往往会因为常数列能达到某一个常数而否定常数列存在极限的事实。

　　三、教学目标与重难点 教学目标：

　　1、通过数列极限发展史的介绍，感受数学知识的形成与发展，更好地把握极限概念的来龙去脉；

　　2、经历极限定义在漫长时期内发展的过程，体会数学家们从概念发现到完善所作出的努力，从数列的变化趋势，正确理解数列极限的概念和描述性定义；

　　3、会根据数列极限的意义，由数列的通项公式来考察数列的极限；掌握三个常用极限。教学重点：理解数列极限的概念

　　教学难点：正确理解数列极限的描述性定义

　　四、教学策略分析

　　在问题引入时着重突出“万世不竭”与“讲台可以走到”在认知上的矛盾，激发学生的学习兴趣与求知欲，并由此引出本节课的学习内容。在极限概念形成时，结合极限概念的发展史展开教学，让学生意识到数学理论不是一成不变的，而是不断发展变化的。数学的历史发展过程与学生的认知过程有着一定的相似性，学生在某些概念上的进展有时与数学史上的概念进展平行。比如部分学生的想法与许多古希腊的数学家一样，认为无限扩大的正多边形不会与圆周重合，它的周长始终小于其外接圆的周长。教师通过梳理极限发展史上的代表性观点，介绍概念的发展历程以及前人对此的一系列观点，能帮助学生发现自己可能也存在着类似于前人的一些错误想法。对数学发现的过程以认知角度加以分析，有助于学生学习数学家的思维方式，了解数学概念的发展，进而建构推理过程，使学生发生概念转变。在课堂练习诊断部分，不但要求回答问题，还需对选择原因进行辨析，进而强化概念的正确理解。

　　五、教学过程提纲与设计意图 1.问题引入

　　让一名学生从距离讲台一米处朝讲台走动，每次都移动距讲台距离的一半，在黑板上写出表示学生到讲台距离的数列。这名学生是否能走到讲台呢？类比“一尺之捶,日取其半,万世不竭”，庄子认为这样的过程是永远不会完结的，然而“讲台永远走不到”这一结果显然与事实不同，要回答这一矛盾，让我们看看历史上的数学家们是如何思考的。【设计意图】

　　改编自芝诺悖论的引入问题，与庄子的“一尺之捶”产生了认知冲突，激发学生的学习兴趣与求知欲，并引出本节课的学习内容

　　2.极限概念的发展与完善

　　极限概念的发展经历了三个阶段：从早期以“割圆术”“穷竭法”为代表的朴素极限思想，到极限概念被提出后因“无穷小量是否为0”的争论而引发的质疑，再经由柯西、魏尔斯特拉斯等人的工作以及实数理论的形成，严格的极限理论至此才真正建立。【设计意图】

　　教师引导学生梳理极限发展史上的代表性观点，了解数学家们提出观点的时代背景，对照反思自己的想法，发现自己可能也存在着类似于前人的一些错误想法。教师在比较概念发展史上被否定的观点与现今数学界认可的观点时，会使学生产生认知冲突。从而可能使学生发生概念转变，抛弃不正确的、不完整的、受限的想法，接受新的概念。在数学教学中，结合数学史展开教学可以让学生意识到数学理论不是一成不变的，而是不断发展变化的，从而提升学生概念转变的动机。

　　3.数列极限的概念

　　极限思想的产生最早可追溯于中国古代。极限理论的完善出于社会实践的需要，不是哪一名数学家苦思冥想得出，而是几代人奋斗的结果。极限的严格定义经历了相当漫长的时期才得以完善，它是人类智慧高度文明的体现，反映了数学发展的辩证规律。今天的主题，极限的定义，援引的便是柯西对于极限的阐述。

　　定义：在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列{an}中的an无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列{an}的极限，或叫做数列{an}收敛于A，记作limanA，读作“n趋向于

　　n无穷大时，an的极限等于A”。

　　在数列极限的定义中，可用|an-A|无限趋近于0来描述an无限趋近于A。

　　如前阐述，柯西版本的极限定义虽然不是最完美的，但作为摆脱几何直观的首次尝试，也是历史上一个较为成功的版本，在历史上的地位颇高。有时，我们也称其为数列极限的描述性定义。

　　【设计意图】

　　通过比较历史上不同观点下的极限定义，教师呈现数列极限的描述性定义，分析该定义的历史意义，让学生进一步明确数列极限的含义。4.课堂练习诊断

　　由数列极限的定义得到三个常用数列的极限:(1)limCC(C为常数)；

　　n(2)lim10(nN*)； nnnn(3)当|q|判断下列数列是否存在极限，若存在求出其极限，若不存在请说明理由

　　20162016（1）an；

　　nsinn； n（3）1,1,1,1,,1（2）an（4）an4(1n1000)

　　4(n1001)11-，n为奇数（5）ann

　　 1，n为偶数注：

　　（1）、（2）考察三个常用极限

　　（3）考查学生是否能清楚认识到数列极限概念是基于无穷项数列的背景下探讨的。当项数无限增大时，数列的项若无限趋近于一个常数，则认为数列的极限存在。因此，数列极限可以看作是数列的一种趋于稳定的发展趋势。有穷数列的项数是有限的，因而并不存在极限这个概念。

　　（4）引用柯西的观点，解释此处无限趋近的含义，是指随着数列项数的增加，数列的项与某一常数要多接近就有多接近，由此得出结论：数列极限与前有限项无关且无穷常数数列存在极限的。

　　（5）扩充对三种趋近方式的理解：小于A趋近、大于A趋近和摆动趋近。本题中的数列没有呈现出以上三种方式的任意一种。避免学生将趋近误解为项数与常数间的差距不断缩小。练习若A=0.9+0.09+0.009+0.0009+...，则以下对A的描述正确的是_____.A、A是小于1的最大正数

　　B、A的精确值为1 C、A的近似值为1

　　选择此选项的原因是_________ ①由于A的小数位都是 9，找不到比A大但比1小的数；

　　②A是由无限多个正数的和组成，它们可以一直不断得加下去，但总小于 2；

　　③A表示的数是数列0.9，0.99，0.999，0.9999，...的极限；

　　④1与A的差等于 0.00…01。

　　注：此题是为考查学生对于无穷小量和极限概念的理解。由极限概念的发展史可以看出，数学家们曾长时期陷入对无穷小概念理解的误区中，极大地阻碍了对极限概念的理解。学生学习极限概念时可能也会遇到类似的误区。

　　练习顺次连接△ABC各边中点A1、B1、C1，得到△A1B1C1。取△A1B1C1各边中点 A2、B2、C2并顺次连接又得到一个新三角形△A2B2C2。再按上述方法一直进行下去，那么最终得到的图形是_________.A、一个点

　　B、一个三角形

　　C、不确定

　　选择此选项的原因是_________.①

　　无限次操作后所得三角形的面积无限趋近于 0 但不可能等于 0。②

　　当操作一定次数后，三角形的三点会重合。

　　③

　　该项操作可以无限多次进行下去，因而总能作出类似的三角形。

　　④

　　无限次操作后所得三角形的三个顶点会趋向于一点。

　　注：此题从无限观的角度考察学生对极限概念的的理解。学生容易忽视极限概念中的实无限，他们在视觉上采用无穷叠加的形式，但是会受最后一项的惯性思维，导致采用潜无限的思辨方式。所谓实无限是指把无限的整体本身作为一个现成的单位，是可以自我完成的过程或无穷整体。相对地，潜无限是指把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着不断产生出来的东西。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在的。持有潜无限观点的学生在理解极限概念时，会将极限理解为是一个渐进过程，或是一个不可达到的极值。

　　通过习题，分析总结以下三个注意点：

　　（1）数列{an}有极限必须是一个无穷数列，但无穷数列不一定有极限存在；

　　1}可以说随着n的无限增大，n1数列的项与-1会越来越接近，但这种接近不是无限趋近，所以不能说lim1；

　　nn（2）“无限趋近”不能用“越来越接近”代替，例如数列{（3）数列{an}趋向极限A的过程可有多种呈现形式。

　　【设计意图】

　　通过例题与选项原因的分析，消除关于数列极限理解的三类误区：

　　第一类是将数列极限等同于如下的三种概念：渐近线、最大限度或是近似值。第二类是学生对于数列趋向于极限方式的错误认知。第三类是对于无限的错误认知。

　　5.课堂小结

　　极限的描述性定义与注意点 三个常用的极限

　　6.作业布置

　　1>任课老师布置的其他作业

　　2>学习魏尔斯特拉斯的数列极限定义，并用该定义证明习题的第一第二小问 【设计意图】

　　通过与数列极限相关的延伸问题，完善极限概念的体系，为学生创设课后自主探究平台，感受静态定义中凝结的数学家的智慧。

极限课件【篇2】

　　高等数学教案

　　课程的性质与任务

　　高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

　　第一章：函数与极限

　　教学目的与要求

　　18学时

　　1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

　　3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

　　5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

　　6.掌握极限的性质及四则运算法则。

　　7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

　　10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

　　第一节：映射与函数

　　一、集合

　　1、集合概念

　　具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

　　1)A{a1,a2,a3,} 2)A{xx的性质P}

　　元素与集合的关系：aA

　　aA

　　一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+

　　元素与集合的关系：

　　A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB。

　　如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作AB 若作AB且AB则称A是B的真子集。空集： A2、集合的运算

　　并集AB ：AB{x|xA或xB} 交集AB ：AB{x|xA且xB}

　　差集

　　AB：AB{x|xA且xB

　　全集I、E

　　补集AC：

　　集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、ABBA

　　ABBA 结合律、(AB)CA(BC)

　　(AB)CA(BC)分配律

　　(AB)C(AC)(BC)

　　(AB)C(AC)(BC)

　　对偶律

　　(AB)AB

　　(AB)AB 笛卡儿积A×B{(x,y)|xA且yB}

　　3、区间和邻域

　　开区间

　　(a,b)闭区间

　　a,b 半开半闭区间

　　a,b有限、无限区间 cccccca,b

　　邻域：U(a)

　　U(a,){xaxa}

　　a 邻域的中心

　　邻域的半径

　　

　　去心邻域

　　U(a,)

　　左、右邻域

　　二、映射 1.映射概念

　　定义

　　设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作

　　f：XY

　　其中y 称为元素x的像，并记作f(x)，即

　　yf(x)

　　注意：1）集合X；集合Y；对应法则f

　　2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一

　　3)单射、满射、双射

　　2、映射、复合映射

　　三、函数

　　1、函数的概念：

　　定义：设数集DR，则称映射f:DR为定义在D上的函数

　　记为

　　yf(x)xD

　　自变量、因变量、定义域、值域、函数值

　　用f、g、

　　函数相等：定义域、对应法则相等

　　自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：１)ｙ＝２

　　2)ｙ＝x

　　3)符号函数

　　1y01x0x0x04)取整函数 yx

　　（阶梯曲线）

　　2x0x1x15)分段函数 y

　　2、函数的几种特性

　　1x1）函数的有界性(上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

　　2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值

　　f(x1)与f(x2)的大小（注：与区间有关）3)函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(x)关系决定)

　　图形特点(关于原点、Y轴对称)

　　4)函数的周期性(定义域中成立：f(xl)f(x))

　　3、反函数与复合函数

　　反函数：函数f:Df(D)是单射，则有逆映射f反函数

　　函数与反函数的图像关yx于对称

　　复合函数：函数ug(y)定义域为D1，函数yf(x)在D上有定义、且f(D)D1。则ug(f(x))gf(x)为复合函数。(注意：构成条件)

　　4、函数的运算

　　和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)

　　5、初等函数：

　　1(y)x，称此映射f1为f函数的

　　1)幂函数：yxa

　　2)指数函数：yax

　　3)对数函数 yloga(x)

　　4)三角函数

　　()

　　ysin(x),ycos(x),ytan(x),ycotx

　　5)反三角函数

　　yarcsin(x)，yarccoxs)（yarctan(x)以上五种函数为基本初等函数

　　6)双曲函数

　　ee2xxyarccot(x)

　　shx

　　chxxxxxee2xx

　　thxshxchxeeee

　　注：双曲函数的单调性、奇偶性。

　　双曲函数公式

　　sh(xy)shxchychxshysh(xy)shxchychxshych(xy)chxchyshxshy ch(xy)chxchyshxshyyarshx反双曲函数：yarchxyarthx

　　作业： 同步练习册练习一

　　第二节：数列的极限

　　一、数列

　　数列就是由数组成的序列。

　　1）这个序列中的每个数都编了号。

　　2）序列中有无限多个成员。一般写成：a1缩写为un

　　例 1 数列是这样一个数列xn，其中

　　n1a2a3a4an

　　xn也可写为：

　　1121n，n1,2,3,4,5

　　131415

　　1n0 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为lim1、极限的N定义：

　　0NnNnxna则称数列xn的极限为a，记成

　　limxna

　　n也可等价表述：

　　1）0

　　2）0NNnNnN(xna)

　　xnO(a)

　　极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

　　二、收敛数列的性质

　　定理1：如果数列xn收敛，那么它的极限是唯一 定理2 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界

　　定理3：如果limxna且a>0(a0，当n>N时，xn0x(xn0)

　　定理

　　4、如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a。

　　第三节：函数的极限

　　一、极限的定义

　　1、在x0点的极限

　　1）x0可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在x0有没有定义，以及函数值f(x0)的大小。只要满足：存在某个0使：(x0,x0)(x0,x0)D。2）如果自变量x趋于x0时，相应的函数值 f(x)有一个总趋势-----以某个实数A为极限，则记为 ：limf(x)A。

　　xx0形式定义为：

　　0x(0xx0)注：左、右极限。单侧极限、极限的关系

　　2、x的极限

　　设：yf(x)x(,)如果当时函数值 有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近

　　f(x)A

　　线yA-----则称函数在无限远点有极限。记为：limf(x)A

　　x

　　在无穷远点的左右极限：

　　f()lim关系为： xf(x)

　　f()limf(x)

　　xlimf(x)Alimf(x)Alimf(x)

　　xxx

　　二、函数极限的性质

　　1、极限的唯一性

　　2、函数极限的局部有界性

　　3、函数极限的局部保号性

　　4、函数极限与数列极限的关系

　　第四节：无穷小与无穷大

　　一、无穷小定义

　　定义：对一个数列xn，如果成立如下的命题： 0NnNxn注：

　　1、 则称它为无穷小量，即limxn0

　　x的意义；

　　2、xn可写成xn0；(0,xn)

　　3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码n，相应的xn与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。

　　定理1 在自变量的同一变化过程xx0（或x)中，函数fx具有极限A的充分必要条件是f(x)A，其中是无穷小。

　　二、无穷大定义

　　一个数列xn，如果成立：

　　G0NnNxnG那么称它为无穷大量。记成：limxn。

　　x 特别地，如果G0NnNxnG，则称为正无穷大，记成limxn

　　x特别地，如果G0NnNxnG，则称为负无穷大，记成limxn x注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。

　　三、无穷小和无穷大的关系

　　定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

　　1f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)0则

　　1f(x)为无穷大

　　即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当xn0时：有

　　lim0limx1xnx

　　limlimx1xnx0

　　注意是在自变量的同一个变化过程中

　　第五节：极限运算法则

　　1、无穷小的性质

　　设xn和yn是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：

　　limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

　　xx（2）对于任意常数C，数列cxn也是无穷小量：

　　limxn0lim(cxn)0 xx（3）xnyn也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。

　　limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

　　xx（4）xn也是无穷小量：

　　xx0limxn0limxn0

　　xx0（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。

　　2、函数极限的四则运算

　　1、若函数f和g在点x0有极限，则

　　lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

　　xx0xx0xx0

　　2、函数f在点x0有极限，则对任何常数a成立

　　lim(af(x))alimxx0xx0f(x)

　　3、若函数f和g在点x0有极限，则

　　lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

　　xx0xx0xx03、若函数f和g在点x0有极限，并且limg(x)0，则

　　xx0limf(x)f(x)xx0

　　lim

　　xx0g(x)limg(x)xx0极限的四则运算成立的条件是若函数f和g在点x0有极限 例：求下述极限

　　lim

　　x3x3x92limx12x3x5x42limx3x2x12xx5322

　　4、limx3x4x27x5x33232limxsinxxlimx2xx53x2x1232复合函数的极限运算法则

　　定理6 设函数yf[g(x)}是由函数yf(u)与ug(x)复合而成，f[g(x)]在点x0的 某去心邻域内有定义，若limg(x)u0，xx00uu0limf(u)A，且存在00，当xu(x0,0)时，有

　　g(x)u0，则

　　xx0limf[g(x)]limf(u)Auu0第六节：极限存在准则

　　两个重要极限

　　定理1 夹逼定理 ：三数列xn、yn和zn，如果从某个号码起成立：1）xnynzn，并且已知xn和zn收敛，2）limxnalimzn，则有结论：

　　xxlimyna

　　x

　　定理2 单调有界数列一定收敛。

　　单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。

　　例：证明：limx0sinxx1

　　例：

　　limx0

　　例：证明：lim(1xtanxx

　　limx01cosxxlimx0arcsinxx

　　1x)有界。求 lim(1)x的极限

　　xx1x

　　第七节：无穷小的比较

　　定义：若,为无穷小

　　limlim0c0c01且

　　limlimlim

　　K高阶、低阶、同阶、k阶、等价～

　　1、若,为等价无穷小，则()

　　2、若～1、～1且

　　lim1111存在，则： limlim

　　例：

　　limx0tan2xsin5x limx0sinxx3xlimx0(1x)31cosx12

　　第八节：函数的连续性与间断点

　　一、函数在一点的连续性

　　函数f在点x0连续，当且仅当该点的函数值f(x0)、左极限f(x00)与右极限f(x00)三者相等：

　　f(x00)f(x0)f(x00)

　　或者：当且仅当函数f在点x0有极限且此极限等于该点的函数值。

　　limf(x)f(x0)

　　其形式定义如下：

　　xx00x(xx0)f(x)f(x0)

　　函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续。函数在区间［a,b］连续时装意端点。注：左右连续，在区间上连续(注意端点)

　　连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线

　　二、间断点

　　若：f(x00)f(x0)f(x00)中有某一个等式不成立，就间断，分为：

　　1、第一类间断点：

　　f(x00)f(x00)

　　即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。、第二类间断点x0：左极限f(x00)与右极限f(x00)两者之中至少有一个不存在

　　例：见教材

　　第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性

　　一、连续函数的四则运算

　　1.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limf(x)g(x)f(x0)g(x0)

　　xx02limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limxx0f(x)g(x)xx0f(x0)g(x0)

　　3.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)0，xx0limxxf(x)0g(x)f(x0)g(x0)

　　xDf是严格单调增加（减少）并且连续

　　反函数连续定理：如果函数f:yf(x)的，则存在它的反函数f并且连续的。

　　注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。

　　1：xf1(y)yDf并且f1也是严格单调增加（减少）2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成

　　yf1(x)xDf1

　　复合函数的连续性定理：

　　设函数f和g满足复合条件gDf，若函数g在点x0连续；g(x0)u0，又若f函数在点u0连续，则复合函数fg在点x0连续。

　　注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：

　　xx0limf(g(x))f(limg(x))

　　xx0从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。

　　第十节：闭区间上连续函数的性质

　　一、最大、最小值

　　设函数：yf(x),xD在上有界，现在问在值域

　　D1yyf(x),xD

　　中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点x0D的函数值 y0f(x0)，则记y0maxf(x)叫做函数在D上的最大值。

　　xD

　　类似地，如果 Df中有一个最小实数，譬如说它是某个点x2Df的函数值y2f(x2)，则记y2min

　　二、有界性

　　xDff(x)称为函数在上的最小值。

　　有界性定理：如果函数f在闭区间a,b上连续，则它在a,b上有界。

　　三、零点、介值定理

　　最大值和最小值定理：如果函数 f在闭区间a,b上连续则它在a,b上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得

　　f()f(x)f(),亦即

　　xa,b

　　f()min xa,bf(x)

　　f()maxf(x)

　　xa,b 若x0使f(x0)0，则称x0为函数的零点

　　零点定理：

　　如果函数f在闭区间a,b上连续，且f在区间a,b的两个端点异号：f(a)*f(b)0则至少有一个零点(a,b)，使f()0

　　中值定理：

　　如果函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。

　　作业：见课后各章节练习。

极限课件【篇3】

　　活动目标：

　　1.尝试用多种方法过不同高度的障碍架，从中体验挑战活动带来的惊险刺激和成功乐趣（重点）。

　　2.学习用双膝跪地，人往后仰的方法，快速滑过一定高度的障碍架（难点）。

　　3.培养幼儿勇于挑战的冒险精神，勇敢品质和创新能力。

　　活动准备：

　　障碍架4组(架上有高度不同的标签)、4块打过蜡的塑料地毯、场地布置(最好是塑胶场地)、护膝幼儿人手一副、哨子、磁带、录音机。

　　活动过程：

　　一、开始部分

　　1、谈话导入

　　2、听音乐边跑边做准备活动：腰部和腿部动作为主。

　　3、站成4路纵队：原地放慢速度跟音乐做一些身体活动：扭腰、抖手、脚踝、蹲起等。

　　二、基本部分

　　1、自由探索活动

　　①介绍活动方法及规则

　　②幼儿分组练习，教师强调想出不同的办法过架，高度从高到低。

　　③听哨声集中：幼儿个别演示过各高度的不同方法。

　　2、学习新技能

　　①提问：有谁能不用躺、不用钻、不用趴的方法很快通过架子？并请个别幼儿尝试一下。

　　②教师示范用双膝跪地，人往后仰的方法，快速滑过障碍架一次。

　　③幼儿学习新技能。

　　a..原地练习：双膝分开跪地人往后仰，感受后仰感觉。

　　b.无障碍练习：分四组在塑料地毯上练习，强调用刚才所学动作，体验滑动感。

　　c.过障碍练习：分组由高到低进行练习，教师提醒幼儿：一、分组使用刚才所学动作过架。二、滑到时不用手去撑地，注意安全。三、鼓励幼儿有信心完成任务。

　　3、游戏：挑战极限

　　①介绍游戏规则：听哨声每组第一位幼儿一起用刚才所学动作滑过障碍架，过架的幼儿再继续游戏，未过幼儿则站在对面为队友加油。

　　②高呼：挑战极限，耶！为自己加油开始游戏：根据能力逐渐降低高度，筛选幼儿。

　　③分差异评价幼儿，挑战极限成功！师生欢呼。

　　三、放松活动

　　跟音乐做一些腰、腿等的放松动作，愉快的离开场地。

极限课件【篇4】

　　活动目标：

　　1、在观察了解雨伞特征的基础上，夸大并任意变形伞面和伞柄。

　　2、启发想象，引发幼儿大胆地进行创造性作画，并用语言表述自己的想法。

　　3、能用顺畅的线条装饰画面，体验无拘无束创造作画的快乐。

　　活动准备：

　　ppt、作画背景轻音乐、作画材料。

　　活动过程：

　　一、引题

　　师：今天林老师带来了一把雨伞。（ppt出示）来看看，雨伞都是由那几个部分组成的？

　　师：原来雨伞是由伞面、伞骨、伞柄组成

　　二、雨伞的变形

　　师继续把伞面变形：这下雨伞变成什么样子了？伞面像什么形状？

　　师再次变形伞面：咦，这时候伞面的形状发生了什么变化？是什么线条组成的？

　　师：你们创造的雨伞太神奇了，而且每个小朋友对每个雨伞都有自己不同的想法和创意。现在，老师请你们把自己雨伞拿回去也来变一变更加神奇吧。

　　四、互动评价

　　1、幼儿自主讲述画面内容

　　2、同伴互评：你最喜欢哪幅画？为什么？

　　3、教师肯定幼儿的作品，给与鼓励

　　活动反思：

　　本次活动中发现课堂教学是重点，很多问题都值得深入探讨。这里我想谈我一直在思考的一个问题：课堂教学的有组织性和引导儿童自由创作可能会出现的无序性的矛盾。课堂教学的有组织性是上好课的保证，这是大多数教师认可的原则。

　　另外在读孩子的画时，更多的应该问问孩子。你的画里藏了什么秘密，这样孩子会更容易向老师吐露心事。不过往往有时候，大人在看孩子的画时，会摇头说：画的是什么呀，乱七八糟！殊不知，儿童绘画贵在无序、天然童真，去雕饰的浪漫稚拙，而且个性鲜明，想象力丰富。有的孩子喜欢色彩，有的孩子画画喜欢用线条。还有的孩子只喜欢画抽象的形状。所以对于儿童画的批改、评价应该有多重的标准，要善于发现儿童画中闪光的东西。

　　极限变形是新的，儿童是新的，在教学中肯定会有更多的新问题新现象新思路值得我们去思考，这确实是十分有意思的事情。我认为老师肯定孩子满足，树立自信心、自尊感需要学习再肯定、再满足渴望学习更新的有难度的东西。美术特色教学评价是美术教育的重要组成部分，科学全面的美术教学评价不仅帮助教师掌握学生心智及创造力的成长情况，及时给予学生启发和帮助；而且使教师明确学生表现自我时的需要并给与激励和支持。通过意象绘画的美术教学活动去唤醒他们对生活的感受，引导他们用基础的艺术形式去表现他们内心的情感，陶冶情操，提高审美能力，达到认识、操作、情感、创造的整合的道路。

极限课件【篇5】

　　一、教学目标

　　1.知识与能力目标

　　①使学生理解数列极限的概念和描述性定义。

　　②使学生会判断一些简单数列的极限，了解数列极限的“e-N"定义，能利用逐步分析的方法证明一些数列的极限。

　　③通过观察运动和变化的过程，归纳总结数列与其极限的特定关系，提高学生的数学概括能力和抽象思维能力。

　　2.过程与方法目标

　　培养学生的极限的思想方法和独立学习的能力。

　　3.情感、态度、价值观目标

　　使学生初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。

　　二、教学重点和难点

　　教学重点：数列极限的概念和定义。

　　教学难点：数列极限的“ε―N”定义的理解。

　　三、教学对象分析

　　这节课是数列极限的第一节课，足学生学习极限的入门课，对于学生来说是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡阶段，在《立体几何》内容求球的表面积和体积时对极限思想已有接触，而学生在以往的数学学习中主要接触的是关于“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题。极限这一抽象概念能够使他们做基于直观的理解，并引导他们作出描述性定义“当n无限增大时，数列｛an｝中的项an无限趋近于常数A，也就是an与A的差的绝对值无限趋近于0”，并能用这个定义判断一些简单数列的极限。但要使他们在一节课内掌握“ε-N”语言求极限要求过高。因此不宜讲得太难，能够通过具体的几个例子，归纳研究一些简单的数列的极限。使学生理解极限的基本概念，认识什么叫做数列的极限以及数列极限的定义即可。

　　四、教学策略及教法设计

　　本课是采用启发式讲授教学法，通过多媒体课件演示及学生讨论的方法进行教学。通过学生比较熟悉的一个实际问题入手，引起学生的注意，激发学生的学习兴趣。然后通过具体的两个比较简单的数列，运用多媒体课件演示向学生展示了数列中的各项随着项数的增大，无限地趋向于某个常数的过程，让学生在观察的基础上讨论总结出这两个数列的特征，从而得出数列极限的一个描述性定义。再在教师的引导下分析数列极限的各种不同情况。从而对数列极限有了直观上的认识，接着让学生根据数列中各项的情况判断一些简单的数列的极限。从而达到深化定义的效果。最后进行练习巩固，通过这样的一个完整的教学过程，由观察到分析、由定量到定性，由直观到抽象，并借助于多媒体课件的演示，使得学生逐步地了解极限这个新的概念，为下节课的极限的运算及应用做准备，为以后学习高等数学知识打下基础。在整个教学过程中注意突出重点，突破难点，达到教学目标的要求。

　　五、教学过程

　　1.创设情境

　　课件展示创设情境动画。

　　今天我们将要学习一个很重要的新的知识。

　　情境

　　1、我国古代数学家刘徽于公元263年创立“割圆术”，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

　　情境

　　2、我国古代哲学家庄周所著的《庄子?天下篇》引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭。也就是说拿一根木棒，将它切成一半，拿其中一半来再切成一半，得到四分之一，再切成一半，就得到了八分之„„?如此下去，无限次地切，每次都切一半，问是否会切完?

　　大家都知道，这是不可能切完的，但是每次切了以后，木棒都比原来的少了一半，也就是说木棒的长度越来越短，但永远不会变成零。从而引出极限的概念。

　　2.定义探究

　　展示定义探索(一)动画演示。

　　问题1：请观察以下无穷数列，当n无限增大时，a，I的变化趋势有什么特点?

　　(1)1/2,2/3,3/4,„n/n-1(2)0.9，0.99，0.999，0.9999，1-1/10n„„

　　问题2：观察课件演示，请分析以上两个数列随项数n的增大项有那些特点?

　　师生一起归纳总结出以下结论：数列(1)项数n无限增大时，项无限趋近于1；数列(2)项数n无限增大时，项无限趋近于1。

　　那么就把1叫数列(1)的极限，1叫数列(2)的极限。这两个数列只是形式不同，它们都是随项数n的无限增大，项无限趋近于某一确定常数，这个常数叫做这个数列的极限。

　　那么，什么叫数列的极限呢?对于无穷数列an，如果当n无限增大时，an无限趋向于某一个常数A，则称A是数列an的极限。

　　提出问题3：怎样用数学语言来定量描述呢?怎样用数学语言来描述上述数列的变化趋势?

　　展示定义探索(二)动画演示，师生共同总结发现在数轴上两点间距离越小，项与1越趋近，因此可以借助两点间距离无限小的方式来描述项无限趋近常数。无论预先指定多么小的正数e，如取e=O-1，总能在数列中找到一项am，使得an项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε，若取￡=0。0001，则第6项后面的所有项与1的差的绝对值都小于ε，即1是数列(1)的极限。最后，师生共同总结出数列的极限定义中应包含哪量(用这些量来描述数列1的极限)。

　　数列的极限为：对于任意的ε>0，如果总存在自然数N，当n>N时，不等式｜an-A｜n的极限。

　　定义探索动画(一)：

　　课件可以实现任意输入一个n值，可以计算出相应的数列第n项的值，并且动画演示数列的变化过程。如图1所示是课件运行时的一个画面。

　　定义探索动画(二)课件可以实现任意输入一个n值，可以计算出相应的数列第n项的值和I an一1I的值，并且动画演示出第an项和1之间的距离。如图2所示是课件运行时的一个画面。

　　3.知识应用

　　这里举了3道例题，与学生一块思考，一起分析作答。

　　例1.已知数列：

　　1,-1/2,1/3,-1/4,1/5„„,(-1)n+11/n，„„

　　(1)计算|an-0|(2)第几项后面的所有项与0的差的绝对值都小于0.017都小于任意指定的正数。

　　(3)确定这个数列的极限。

　　例2.已知数列：

　　已知数列：3/2,9/4,15/8„„，2+(-1/2)n，„„。

　　猜测这个数列有无极限，如果有，应该是什么数?并求出从第几项开始，各项与这个极限的差都小于0.1，从第几项开始，各项与这个极限的差都小于0.017

　　例3.求常数数列一7，一7，一7，一7，„„的极限。

　　5.知识小结

　　这节课我们研究了数列极限的概念，对数列极限有了初步的认识。数列极限研究的是无限变化的趋势，而通过对数列极限定义的探讨，我们看到这一过程又是通过有限来把握的，有限与无限、近似与精确、量变与质变之间的辩证关系在这里得到了充分的体现。

　　课后练习：

　　(1)判断下列数列是否有极限，如果有的话请求出它的极限值。①an=4n+l/n；②an=4-(1/3)m；③an=(-1)n/3n；④aan=-2；⑤an=n；⑥an=(-1)n。

　　(2)课本练习1，2。

　　6.探究性问题

　　设计研究性学习的思考题。

　　提出问题：

　　芝诺悖论：阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟，因为当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经走在前面一小段路了，阿基里斯又必须赶过这一小段路，而乌龟又向前走了。这样，阿基里斯可无限接近它，但不能追到它。假定阿基里斯跑步的速度是乌龟速度的10倍，阿基里斯与乌龟赛跑的路程是1公里。如果让乌龟先跑0.1公里，当阿基里斯追到O.1公里的地方，乌龟又向前跑了0.01公里。当阿基里斯追到0.01公里的地方，乌龟又向前跑了0.001公里„„这样一直追下去，阿基里斯能追上乌龟吗?

　　这里是研究性学习内容，以学生感兴趣的悖论作为课后作业，巩固本节所学内容，进一步提高了学生学习数列的极限的兴趣。同时也为学生创设了课下交流与讨论的情境，逐步培养学生相互合作、交流和讨论的习惯，使学生感受到了数学来源于生活，又服务于生活的实质，逐步养成用数学的知识去解决生活中遇到的实际问题的习惯。

极限课件【篇6】

　　活动目标：

　　1.尝试用多种方法过不同的障碍物，从中体验挑战活动带来的惊险刺激和成功乐趣(重点)。

　　2.幼儿乐于接受挑战，能与他人合作有冒险精神和创新能力。

　　3.通过这次游戏促进幼儿身体的协调性和灵活性。

　　4.考验小朋友们的反应能力，锻炼他们的个人能力。

　　5.培养良好的卫生习惯。

　　活动准备：

　　垫子小凳子(红外线)

　　活动过程：

　　一：开始部分：放音乐，老师和幼儿一起做热身活动

　　二：基本部分

　　1、放音乐兔子舞，让幼儿和老师一起做律动。

　　2、老师告诉幼儿做极限爬行运动

　　(1)先让女孩子平躺在垫子上(做木头人，双手贴在腿边)，男孩子从女孩子身上爬(老师师范，手先过去，再把腿抬过去)。

　　(2)让女孩子拱起身子来做山洞状，让男孩子爬过去。

　　(3)让男孩平躺或拱起身，女孩子爬过去。

　　3、老师发给幼儿每人两个红色圆圈，让幼儿贴在身上准备游戏冲破敌阵(注意一定不要碰到红外线，否则能量会减少)最后谁剩的能力量多就获胜。

　　规则：三个孩子平躺，三个孩子拱起身，让其他幼儿爬过三个平躺的孩子，爬过有红外线的地方，快思老师.教案网出处在爬过拱起身的孩子，到达终点(记录男孩和女孩剩下能量的多少)。

　　4、换另一组幼儿进行游戏(交替练习)，记录剩下的能量多少。

　　三：活动延伸

　　创设小雪人情境，听老师口令做放松运动，结束活动

极限课件【篇7】

　　数列极限教学设计

　　复习目的：1.理解数列极限的概念，会用“”定义证明简单数列的极限。

　　2.掌握三个最基本的极限和数列极限的运算法则的运用。

　　3.理解无穷数列各项和的概念。

　　4.培养学生的推理论证能力、运算能力，提高学生分析问题，解决问

　　题的能力。

　　教学过程：

　　问题1：根据你的理解，数列极限的定义是如何描述的？

　　数列极限的定义：对于数列{an},如果存在一个常数A，无论事先指定多么小的正数，都能在数列中找到一项aN,使得这一项后的所有项与A的差的绝对值小于，（即当n>N时，记

　　时，an趋近于A的无限性，即趋近程度的无（1）的任意性刻划了当

　　限性（要有多近有多近）。

　　（2）N的存在性证明了这一无限趋近的可能性。

　　问题3：“

　　问题4：“”定义中的N的值是不是唯一？ ”定义中，

　　因为N时，an对应的点都在区间（A-

　　问题5：利用“，A+）内。”定义来证明数列极限的关键是什么？ N时，立）。

　　问题6

　　：无穷常数数列有无极限？数列呢？数列

　　（

　　三个最基本的极限：（1）C=C，（2）=0，（3）=0（

　　问题7

　　：若=A，=B，则（）=？，（）=

　　？，=

　　？，=？。数列极限的运算法则：（）=A+B，（）=A-B，=AB，=（B0）。

　　即如果两个数列都有极限，那么这两个数列对应项的和，差，积，商组成新数列的极限分别等于它们极限的和，差，积，商。（各项作为除数的数列的极限不能为零)

　　问题8：（，）

　　=

　　++

　　+=0对吗？ 运算法则中的只能推广到有限个的情形。

　　问题9：无穷数列各项和s是任何定义的？ s=,其中为无穷数列的前n项和，特别地，对无穷等比数列（

　　．用极限定义证明：

　　例2．求下列各式的值

　　（2）[（）=，]

　　（2）（）

　　例3

　　．已知例4

　　．计算：

　　（++）=0，求实数a,b的值。+，例5．已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，它的前n项和为

　　小结：本节课复习了数列极限的概念，运算法则，三个最基本的极限，无穷数列各项和的概念，以及它们的运用，主要是利用数列极限概念证明简单数列的极限，利用运算法则求数列的极限，（包括已知极限求参数），求无穷数列各项和。

极限课件【篇8】

　　教材简解

　　活动设计的灵感来源于一个绘本，虽然在这个故事中没有一个文字，但是两个小木偶变化出生动的各种造型和场景，以及一环扣一环的前后连贯的故事情节，让孩子深深爱上这个绘本。大班幼儿已经对图形组合积累了一定经验,结合大班幼儿年龄特点和已有知识经验的基础上,根据绘本《干变万化》设计了这一活动,希望能引导幼儿开拓思路,发展创造性思维能力。

　　以小见大，创意无限

　　一、情境内容小故事大逻辑

　　《千变万化》这个绘本最主要的特质就是在千变万化中体现环环相扣的前后逻辑性，不仅是一个充满想象和创造的美术活动素材，还可以作为数学活动素材，让孩子体验在拼搭中如何组合这些图形积木，并感知整体与部分的关系。故事情境中，每一个画面都是有前后逻辑关系的，活动设计中每一个问题设置的情境都紧紧围绕这关系和逻辑，让幼儿进一步理解故事的前因后果，为接下来的创造拓展合理的想象空间。

　　二、操作材料小材料大功用

　　活动的操作材料就是一盒积木，小木偶就是不断地用这盒积木变化拼搭了各种各样的造型：房子消防车轮船卡车火车新房子积木的灵活运用和反复操作变化，让孩子们有更过的奇思妙想。一盒小小的积木被挖掘出多种功能，不仅成为孩子欣赏的素材，也是孩子乐此不彼、爱不释手的心爱之物。

　　三、幼儿作品小照片大创作

　　面对一盒可以反复拆卸的积木，如何让孩子们的作品得到呈现呢?我想到了时下流行的数码产品相机(手机)，在幼儿完成创作之后，用相机拍下来，及时传进电脑，利用电视机在屏幕上呈现出来，既清晰又满足孩子展示作品的愿望。通过小游戏，让幼儿用简明概况的短语来说出自己作品的名称，大家一起参评，选出新颖独特的续集新故事内容;活动结束后教师可以将电脑里的作品打印成照片，为后续的排图讲述的欣赏素材。

　　活动目标

　　1.感知不同图形的组合变化，能创造出新的图像。

　　2.能有目的地进行想象，体验探索图形组合无限创意的干变万化的快乐。

　　活动重难点

　　感知不同图形的组合变化，能创造出新的图像。

　　活动准备

　　1.幼儿有拼搭积木的经验。

　　2.幻灯片,积木(幼儿每人一份)、米色卡纸、彩色水笔。

　　活动过程

　　一、激趣导入认识红红和蓝蓝

　　师:今天我请来了两位朋友:红红和蓝蓝,他们来自积木王国。在积木王国里,任何东西都是用各种各样的积木变出来的。让我们去看看吧!

　　师(呈现各种形状的积木):你看到了什么形状的积木?

　　师:生活中有什么东西的形状跟它们是很像的?

　　师(小结):生活中的很多东西都跟这些积木的形状很像。

　　二、回忆故事再现无限创意的图片

　　三、引发创作讨论无限创意的方法

　　师:把不同形状的积木合在一起还能变出更多的东西呢。红红和蓝蓝今天要带着大家一起玩一个名叫干变万化的游戏。

　　师:什么叫千变万化?

　　师:一种东西能够变化出很多很多样子,数都数不过来,这就叫千变万化。

　　1.变房子。

　　师:红红和蓝蓝会把这些积木合在一起变出什么呢?(鼓励幼儿大胆想象和表达。)

　　师:原来他们用积木变出了一幢房子。看一看,房子是怎么变出来的。(引导幼儿发现房子的不同部分分别是用什么形状的积木变出来的。)

　　师(小结):红红和蓝蓝把各种各样的积木合在一起变出了一栋房子。仔细看一看,三角形积木变成了屋顶,拱形积木变成了门窗真好看啊!

　　2.变消防车。

　　师:意想不到的事情发生了,房子着火了,怎么办?(鼓励幼儿大胆表述生活经验。)

　　师:红红和蓝蓝会用积木变出什么来灭火呢?

　　师:红红和蓝蓝用积木变出了什么?像不像?哪里像?

　　师(小结):红红和蓝蓝把不同形状的积木合在一起变出了消防车。长方形积木变成梯子,半圆形积木变成车灯和方向盘哗啦啦,消防车里的水很快就把大火扑灭了。

　　3.变轮船。

　　师:仔细看看,发生什么事情了?

　　师:猜猜红红和蓝蓝又会把积木变成什么呢?

　　师:你知道红红和蓝蓝把积木变成了什么吗?你是怎么看出来的?

　　师(小结):消防车里流出的水越来越多,都涨大水了。红红和蓝蓝立刻用积木变出了大轮船。.!来源:屈,老.师教案网,长方形积木变成桅杆,半圆形积木变成椅子有了大轮船,水再多也不怕了。

　　四、幼儿拼搭表现无限创意的情景

　　师:开着大轮船到了岸边,红红和蓝蓝还想到更远的地方去,他们需要交通工具,你有办法帮帮他们吗?今天我也给你们准备了各种各样形状的积木,请你先想一想,可以变什么交通工具,然后看一看哪些形状合在一起可以变出你想要的交通工具。抓紧时间动手试一试,过一会儿我们一起来说一说你变的交通工具,好吗?(幼儿操作。)

　　四、交流分享欣赏无限创意的作品

　　师:谁愿意来介绍你用积木变出了什么交通工具?

　　师:大家来说说变得像不像?哪里像?

　　师:这是大家用不同形状的积木组合在一起变成的交通工具,有这么多哦。你们喜欢吗?你最喜欢哪一个?你能猜出朋友变的是什么吗?你是怎么看出来的?

　　师(小结):原来,不同的积木可以干变万化,有的转个方向可以变,有的连在一起可以变,有的换个位置可以变。到底能变出多少东西呢,数也数不清。红红和蓝蓝看到你们变出这么多交通工具,别提有多高兴了!他们说:谢谢小朋友。

　　五、延伸活动:

　　师:有了交通工具,红红和蓝蓝又要出发了。他们还会发生什么事情呢?这些积木还能变出什么来呢?等会儿你们再去区角里试试看好吗?

　　活动反思

　　在环节设计上,我力图体现由易到难、层层深入的思路。

　　在活动的第一环节,我首先向幼儿介绍故事的两位主人公红红和蓝蓝,之所以取这样的名字,是考虑到幼儿平日游戏所用的积木通常都会有鲜艳的颜色,用红红代表小女孩,蓝蓝代表小男孩,简单且形象,易于记忆。接着,我提出红红和蓝蓝会用积木做点什么呢这样开放性的问题,以利于幼儿在了解故事内容前充分发挥想象力。此后,我出示各种形状的积木,引导幼儿将其与日常生活中常见的物体形状建立联系,为幼儿利用积木变出各种东西奠定基础。

　　在活动的第二环节,我首先帮助幼儿理解千变万化的含义,使幼儿能在后面的操作活动中利用积木进行各种形式的变化创造。此后,我主要用图片呈现情境,引导幼儿仔细观察图片,根据图片提供的情境推测故事内容并完整表达,同时通过追问了解幼儿相关的生活经验。在幼儿表达的基础上,我在动画片段的辅助下完整讲述故事内容,以加深幼儿对故事内容的理解。

　　在活动的第三环节,我在幼儿了解一些积木变换形式的基础上,让幼儿动手操作,借助情境进行想象拼搭,并尝试完整表达自己的想法。

极限课件【篇9】

　　§３ 数列极限存在的条件

　　教学内容：单调有界定理，柯西收敛准则。

　　教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛

　　数列的极限；初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。

　　教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。

　　教学难点：相关定理的应用。

　　教学方法：讲练结合。

　　教学学时：2学时。

　　 引言

　　在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。

　　本节将重点讨论极限的存在性问题。为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。本节就来介绍两个判断数列收敛的方法。

　　一、单调数列：

　　定义 若数列an的各项满足不等式anan1(aan1)，则称an为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列． (1)n12例如：为递减数列；n为递增数列；不是单调数列。nn

　　二、单调有界定理：

　　考虑：单调数列一定收敛吗？有界数列一定收敛吗？以上两个问题答案都是否定的，如果数列对以上两个条件都满足呢？答案就成为肯定的了，即有如下定理：

　　定理2.9（单调有界定理）在实数系中，有界且单调数列必有极限。

　　证明：不妨设an单调递增有上界，由确界原理an有上确界asupan，下面证明limana.0，n

　　一方面，由上确界定义aNan，使得aaN，又由an的递增性得，当nN时aaNan； 另一方面，由于a是an的一个上界，故对一切an，都有anaa；

　　所以当nN时有aana，即ana，这就证得limana。n

　　同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且为它的下确界。

　　例１ 设an1111,n1,2,其中2，证明数列an收敛。23n

　　证明：显然数列an是单调递增的，以下证明它有上界.事实上，an1111 22223n

　　11111111111 1223(n1)n223n1n

　　212，n1,2, n

　　于是由单调有界定理便知数列an收敛。

　　例２ 证明下列数列收敛，并求其极限：

　　 n个根号

　　解：记an

　　显然a1222，易见数列an是单调递增的，现用数学归纳法证明an有上界2.22，假设an2，则有an12an222，从而数列an有上界2.n2于是由单调有界定理便知数列an收敛。以下再求其极限，设limana，对等式an12an两边

　　2同时取极限得a2a，解之得a2或a1（舍去，由数列极限保不等式性知此数列极限非负），从而 lim2222.n

　　例３证明lim(1)存在。n1nn

　　分析：此数列各项变化趋势如下

　　我们有理由猜测这个数列单调递增且有上界，下面证明这个猜测是正确的。

　　证明：先建立一个不等式，设ba0，nN，则由

　　bn1an1(ba)(bnbn1abn2a2ban1an)(n1)bn(ba)得到不等式 an1bn(n1)anb（＊）

　　以b111111a代入（＊）式，由于(n1)anb(n1)(1)n(1)1 nn1n1n

　　n1nn111由此可知数列1为递增数列； nn1于是1n1

　　再以b11111a代入（＊）式，同样由于(n1)anb(n1)n(1)，2n2n

　　2n2nn14由此可知数列1为有界数列； n111于是1112n22n

　　n综上由单调有界定理便知lim(1)存在。nn

　　n1注：数列1是收敛的，但它的极限目前没有办法求出，实际上它的极限是e（无理数），即有n

　　1lim(1)n＝e，这是非常有用的结论，我们必须熟记，以后可以直接应用。nn

　　例4 求以下数列极限：

　　（1）lim(1)；（2）lim(1nn1nn1n1)；（3）lim(1)2n.n2nn

　　n1n1 解:(1)lim(1)lim1nnnn11； e

　　(2)lim(1n1n1)lim1n2n2n2ne 12

　　(3)lim(1n12n)n1nlim1e2.nn2

　　三、柯西收敛准则：

　　１．引言：

　　单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件——柯西收敛准则。

　　２．Cauchy收敛准则：

　　定理2.10（Cauchy收敛准则）数列an收敛的充分必要条件是：对任给的0，存在正整数Ｎ，使得当n,mN时有|anam|；或对任给的0，存在正整数Ｎ，使得当nN，及任一pN，有anpan。

　　３．说明：

　　(1)Cauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。

　　(2)Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数。或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。

　　(3)Cauchy准则把N定义中an与a的之差换成an与am之差。其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。

　　(4)数列an发散的充分必要条件是：存在00，对任意的NN，都可以找到n,mN，使得anam0；存在00，对任意的NN，都可以找到nN，及pN，使得anpan0.例5设an1112n，证明数列an收敛。101010

　　证明：不妨设nm，则

　　anam111m1m2n101010

　　1110m11nm11011111 mnm19101010mm110对任给的0，存在N

　　例6设an1

　　证明：0，对一切nmN有|anam|，由柯西收敛准则知数列an收敛。11，证明数列an发散。2n

　　anp1，对任意的NN，任取nN，及pn，则有 211111111an(共n项)n0 n1n22n2n2n2n2n2由柯西收敛准则知数列an发散。