圆台体积公式推导

　　圆台是数学几何中一个重要的图形，在考试时也经常出现相关题目。下面是由出国留学网编辑为大家整理的“圆台体积公式推导过程详解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　圆台体积公式

　　V=1/3πh(r²+R²+rR)

　　公式中r为上底半径、R为下底半径、h为高。

　　圆台的表面积公式：S=πr²+πR²+πRl+πrl=π(r²+R²+Rl+rl)

　　r-上底半径、R-下底半径、h-高、l—母线=根号下[(R-r)²+h²]

　　圆台体积公式推导过程

　　最简单的是使用极限的思想，将圆台横截成无数个小圆台，则每个圆台可以近似的看成一个圆柱，那么再使用微积分即可求解：S侧=∫(0到l)2πdz=π(r1+r2)l。其中l为圆台母线长，r1，r2为上下圆半径由此S=S侧+S上+S下=π(r1+r2)l+πr12+πr22=π(r'2+r2+r'l+rl)。当然用旋转体表面积公式S=2π∫ydx，其中y=(r2-r1)x/L+r1，也可求解S侧。

　　拓展阅读：圆台的性质

　　平行于底面的截面是圆。

　　过轴的截面是等腰梯形。

　　同别的棱台一样，若它是一个圆锥体在½处截断，则上底半径也应为下底的1/2，截下面积是整个圆锥面积的1/7.过圆台侧面一点有且只有一条母线。

　　如果沿一个直角梯形垂直于底边的腰旋转一周，将得到一个圆台。

　　圆台任意两条母线延长后交于一点。

　　圆台体积公式是同学们在做题时经常会用到的，那么圆台体积公式是什么，又是怎样推导出来的呢?下面是由出国留学网编辑为大家整理的“圆台体积公式，圆台体积公式的推导过程”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　圆台体积公式

　　V=1/3πh(r²+R²+rR)，其中r是上底面半径，R是下底面半径。

　　圆台体积公式的推导过程

　　圆台体积公式 V=1/3 * π * h (R^2+Rr+r^2) 其实圆台 相当于 大圆锥 切去顶端的小圆锥 。 圆锥体的体积： V=1/3 * π * h * r^2 假设，圆台底面半径为 R ，顶面半径为 r ，台高 h ; 则假设的大圆锥体积 V1=1/3 * π * h1 * R^2 ;小圆锥的体积 V2=1/3 * π * h2 * r^2 ，明显 r：R = h2：h1; 则圆台的体积 V = 1/3 * π *(h1*R*R-h2*r*r) 将 r=R * h2 /h1 代入上式 V = 1/3 * π * ((h1^3-h2^3)/h1^2) * R^2 使用立方差公式 V = 1/3 * π * (h1-h2) *((h1^2+h1h2+h2^2)/h1^2) * R^2 = 1/3 * π * h * (1+h2/h1+h2^2/h1^2) * R^2 再将 R * h2 /h1 =r 代入上式 V=1/3 * π * h (R^2+Rr+r^2)