以下2015上海市嘉定区高三一模数学理试题及答案由出国留学网高考频道为您精心提供，希望对您有所帮助。
上海市嘉定区2015届高三第一次质量调研（一模）
数学（理）试题
考生注意：
1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．
2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．
3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．设 是虚数单位，则 __________．
2．函数 的定义域是________________．
3．已知直线 垂直于直线 ，则直线 的一个法向量 ___________．
4．已知 ， ，则 ____________．
5．为了解 名学生的视力情况，采用系统抽样的方法从中抽取容量为 的样本，则分段的间隔为______________．
6．若椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则 __________．
7．若圆锥的侧面积是底面积的 倍，则其母线与轴所成角的大小是____________（结果用反三角函数值表示）．
8．将函数 的图像向左平移 （ ）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则 的最小值为______________．
9．设无穷等比数列 的公比为 ．若 ，则 ________．
10．△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ，则 ___________．
11．甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是___________．
12．设正数 、 满足 ，则 的最小值是____________．
13．若函数 满足：①在定义域 内是单调函数；②存在 （ ），使 在 上的值域为 ，那么 叫做对称函数．现有 是对称函数，则实数 的取值范围是_______________．
14．设数列 是等差数列，其首项 ，公差 ， 的前 项和为 ，且对任意 ，总存在 ，使得 ．则 _________．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．
15．“ ”是“ ”的…………………………………………………（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
16．设 、 是关于 的方程 的两个不相等实根，则过 、 两点的直线与双曲线 的公共点个数是…………………（ ）
A． B． C． D．
17．定义在区间 上的函数 满足：① ；②当 时， ，则集合 中的最小元素是……………………（ ）
A． B． C． D．
18．如图，圆 的半径为 ， 是圆上的定点， 是圆上的动点，
角 的始边为射线 ，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，
垂足为 ，将点 到直线 的距离表示为 的函数 ，则
= 在 上的图像大致为………………………………………………………（ ）
A． B． C． D．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分满分7分．
已知 ，向量 ， ， ．
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 是第二象限角， ，求 的值．
20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
如图，在直三棱柱 中， ， ，点 、 分别为棱 与 的中点．
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求异面直线 与 所成角的大小．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知点 ，椭圆 ： （ ）的长轴长为 ， 是椭圆的右焦点，直线 的一个方向向量为 ， 为坐标原点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 的动直线 与椭圆 相交于 、 两点，当△ 的面积 最大时，求 的方程．
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．
已知函数 （ ）．
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）设 ，问函数 的图像是否关于某直线 成轴对称图形，如果是，求出 的值；如果不是，请说明理由；（可利用真命题：“函数 的图像关于某直线 成轴对称图形”的充要条件为“函数 是偶函数”）
（3）设 ，函数 ，若函数 与 的图像有且只有一个公共点，求实数 的取值范围．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知数列 、 的各项均为正数，且对任意 ，都有 ， ， 成等差数列， ， ， 成等比数列，且 ， ．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求数列 、 的通项公式；
（3）设 ，如果对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
2014学年嘉定区高三年级第一次质量调研
数学试卷参考答案与评分标准
一．填空题（每题4分，满分56分）
1． 2． 3． 4．
5． 6． 7． 8．
9． 10． 11．
12． 13． 14．
第14题详解： ，因为对任意 ，存在 ，使得 ，即 ，取 ，得 ， ，
因为 ，所以 ，故 ， ．
二．选择题（每题5分，满分20分）
15．A 16．D 17．C 18．B
三．解答题（本大题满分74分）
注：解答题评分标准所给的是各步骤的累加分，与参考答案不同的解法可酌情给分．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分满分7分．
（1） ，……（2分）
由 （ ）， …………（4分）
得 的单调递增区间是 （ ）． …………（5分）
（2）由已知得， ，…………（2分）
即 ， ………………（3分）
所以， ，………（4分）
若 ，则 ，所以 ；……………（5分）
若 ，则 ， ．…………（6分）
综上， 的值为 或 ． …………（7分）
（分类得到2个答案，不写最后一步可不扣分）
20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
（1） ． ……（5分）
（参考答案只给出最后结果，如果结果错误，可视中间步骤适当给分）
（2）取 中点 ，联结 ， ，则 ∥ ， ………（1分）
所以， 是异面直线 与 所成的角（或其补角）， …………（2分）
在△ 中， ， ， ………………………（4分）
所以， ，故 ． ……（6分）
所以，异面直线 与 所成角的大小为 ． ………………………（7分）
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（1）设 ，直线 的点方向式方程为 ， ………………（2分）
令 ，得 ，即 ， ………………………………………（3分）
由已知， ，所以 ． ………………………………………（5分）
所以椭圆 的方程为 ． ………………………………………（6分）
（2）由题意，设直线 的方程为 ，
将 代入 ，得 ， …………（1分）
当△ ，即 时，直线 与椭圆 相交， ……………（2分）
设 ， ，则 ， ， ………（3分）
所以
，
又点 到直线 的距离 ，所以△ 的面积 ．
设 ，则 ， ， ………………（5分）
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时， 取最大值 ．……（7分）
所以，当△ 的面积 最大时，直线 的方程为 ． ……………（8分）
（直线方程用其他形式也可以）
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．
（1） ，
若 是偶函数，则 ，即 ， …………（1分）
所以 对任意实数 成立，所以 ； …………………（2分）
若 是奇函数，则 ，即 ，………（3分）
所以 对任意实数 成立，所以 。 …………………（4分）
综上，当 时， 是偶函数；当 时， 是奇函数；当 时， 既不是奇函数也不是偶函数。 ……………………………………………………（5分）
（2）当 时，若函数 的图像是轴对称图形，且对称轴是直线 ，则函数 是偶函数，即对任意实数 ， ， ………………（1分）
故 ，化简得 ， …（3分）
因为上式对任意 成立，所以 ， ． ………………（4分）
所以，函数 的图像是轴对称图形，其对称轴是直线 ． …………（5分）
（3）由 得， ，
即 ， ……………………………………………………（2分）
此方程有且只有一个实数解．
令 ，则 ，问题转化为：方程 有且只有一个正数根．（3分）
①当 时， ，不合题意． …………………………………………………（4分）
②当 时，
(i) 若△ ，则 或 ，若 ，则 ，符合题意；若 ，则 ，不合题意． ……………………………………（6分）
(ii) 若△ ，则 或 ，由题意，方程有一个正根和一个负根，即 ，解得 ． ……………………………………（7分）
综上，实数 的取值范围是 ． ……………………………………（8分）
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
（1）由已知， ①， ②， ……………………（1分）
由②可得 ③ ……………………（2分）
将③代入①，得对任意 ， ，有 ，即 ,
所以， 是等差数列． ………………………（4分）
（2）设数列 的公差为 ，由 ， ，得 ， ，……（1分）
所以， ， ， ， ………………………（2分）
所以 ， ．…（4分）
由已知，当 时， ，而 也满足此式．……（5分）
所以数列 、 的通项公式为： ， ． ………（6分）
（3）由（2），得 ， ……………………（1分）
则 ， …………（2分）
不等式 化为 ， …………………（3分）
（以下有两种解法）
解法一：不等式化为 ， ……………………………（4分）
设 ，则 对任意 恒成立． ………（5分）
当 ，即 时，不满足条件．
当 ，即 时，满足条件．
当 ，即 时，函数 图像的对称轴为直线 ， 关于 递减，只需 ，解得 ，故 ． ……………………（8分）
综上可得， 的取值范围是 ．
解法二：不等式化为 对任意 恒成立，即 ，…（5分）
设 ，任取 、 ，且 ，则
，故 关于 递减． ……………………（6分）
又 且 ，所以 对任意 恒成立，所以 ．
因此，实数 的取值范围是 ． ………………………（8分）
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