2015浏阳一中攸县一中醴陵一中高三联考数学理试题及答案

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2015届高三浏 攸 醴三校联考
理科数学试题
时量120分钟  总分150分
命题人：攸县一中 谭忠民    审题人：攸县一中 尹光辉
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知 ，则复数  是虚数的充分必要条件是   （     ）
A.           B.            C.         D.  且
2．函数 的定义域是          （      ）
A．[-1，4] B．       C．[1，4]       D．  
3．已知集合A={0,1,2,3}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B中元素的个数为（   ）
A.0         B.1          C.2                D.3
4、设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，a3=5，Sk+2﹣Sk=36，则k的值为（　　）
A.8       B.7     C.6          D.5
5.已知函数 是 上的奇函数,且在区间 上单调递增,若 ,则                  （      ）
 A.            B.            C.         D.
6 ．由直线 , ,曲线 及 轴所围成的封闭图形的面积是 （      ）
 A.                B.            C.            D.
7．已知点 分别是正方体
的棱 的中点，点 分别在
线段 上. 以 为顶点  
的三棱锥 的俯视图不可能是（    ）
 
8、运行如左下图所示的程序，如果输入的n是6，那么输出的p是   （     ）
 
 

  A.120  B.720  C.1440  D.5040                                        
9、函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分 图象如右上图所示，其 中A，B两点之间的距离为5，则f（x）的递增区间是           （　    　）
A.[6K-1，6K+2](K∈Z)             B. [6k-4,6k-1] (K∈Z) 
C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)             D.[3k- 4,3k-1] (K∈Z)
10、已知 ，曲线  恒过点 ，若 是曲线 上的动点，且 的最小值为 ，则                   (          ).
 A.                  B.-1                  C.2             D.1

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25 分．把答案填在答题卡的相应位置．
11、已知各项均为正数的等比数列 中，  则     。
12. 若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足 ，则 =　 　．
13. 在 中，若 ，则角B=               。
14、设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是          ．
15 、对于函数 ，若在其定义域内存在 ，使得 成立，则称函数 具有性质P.
（1）下列函数中具有性质P的有           
 ①   ②     ③ ，
  （2）若函数 具有性质P，则实数 的取值范围是           .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．
16．（本题满分12分）在△ABC中，已知A= ， ．
  (I)求cosC的值；
  (Ⅱ)若BC=2 ，D为AB的中点，求CD的长．

17.（本题满分12分）
在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为 、 ，设 为坐标原点，点 的坐标为 ，记 ．
（I）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量 的分布列和数学期望．

18、（本题满分12分）如图，三角形 和梯形 所在的平面互相垂直，  ， ， 是线段 上一点， .
（Ⅰ）当 时，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）是否存在点 满足 平面 ？并说明理由.

19、（本题满分13分）已知椭圆  的焦距为 ，
     且过点 .
（1）求椭圆的方程；   
（2）已知 ，是否存在 使得点 关于 的对称点 （不同于点 ）在椭圆 上？若存在求出此时直线 的方程，若不存在说明理由.

20. （本题满分13分）已知函数 的图象在点 处的切线的斜率为2.
(Ⅰ)求实数 的值;
(Ⅱ)设 ,讨论 的单调性;
(Ⅲ)已知 且 ,证明:

21.（本题满分13分）已知函数 ，各项均不相等的有限项数列 的各项 满足 .令 ， 且 ，例如： .
(Ⅰ)若 ，数列 的前n项和为Sn，求S19的值；
(Ⅱ)试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由。
①存在数列 使得 ；②如果数列 是等差数列，则 ；
③如果数列 是等比数列，则 。

浏阳市一中、攸县一中、醴陵一中2015届高三11月联考
理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：

1―5：CDCAB   6―10：ACBBD
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25 分．
11、27  12、   13、  14、 
15、（1）  ① ②  ，（2）  .
三、解答题：答案仅供参考。如有其他解法，请参照此标准酌情给分。
16．（本题满分12分）在△ABC中，已知A= ， ．
  (I)求cosC的值；
  (Ⅱ)若BC=2 ，D为AB的中点，求CD的长．
【解析】（Ⅰ） 且 ，∴    …2分
        ……………………………4分
        ……………6分
 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得   ……8分
由正弦定理得 ，即 ，解得 ．………10分
 在 中，  ，所以 …………12分

17.（本题满分12分）在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为 、 ，设 为坐标原点，点 的坐标为 ，记 ．
（I）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量 的分布列和数学期望．
【解析】（I） 、 可能的取值为 、 、 ，…………………1分
 ， ，
 ，且当 或 时， ．
因此，随机变量 的最大值为  ………………………3分
  有放回摸两球的所有情况有 种 ………6分       
（Ⅱ） 的所有取值为 ．
 时，只有 这一种情况．
  时，有 或 或 或 四种情况，
 时，有 或 两种情况．
 ， ， …………………………8分   
        
        

则随机变量 的分布列为：
………………10分

因此，数学期望 …………………12分

18、（本题满分12分）如图，三角形 和梯形 所在的平面互相垂直，  ， ， 是线段 上一点， .
（Ⅰ）当 时，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）是否存在点 满足 平面 ？并说明理由.

解：（Ⅰ）取 中点 ，连接 ，………………1分
又 ，所以 .
因为 ，所以 ,
四边形 是平行四边形，………………2分
所以
因为 平面 ， 平面
所以 平面 .………………4分
（Ⅱ）因为平面 平面 ，平面 平面 = ，
且 ，所以 平面 ，所以 ， ………………5分
因为 ，所以 平面 .如图，以 为原点，建立空间直角坐标系 .
则 ，………6分
 是平面 的一个法向量.
设平面 的法向量 ，则
 ，即
令 ，则 ，所以 ,
所以 ，………………8分
故二面角 的正弦值为 。………………9分.
（Ⅲ）因为 ，所以 与 不垂直,……………11分
所以不存在点 满足 平面 .………………12分
19、（本题满分13分）已知椭圆  的焦距为 ，且过点 .
（1）求椭圆的方程；    （2）已知 ，
是否存在 使得点 关于 的对称点 （不同于点 ）在椭圆 上？
若存在求出此时直线 的方程，若不存在说明理由.

解：（1）由已知，焦距为2c= …………1分
  又  …………2分
点 在椭圆  上， …………3分
故，所求椭圆的方程为 ……………5分

  （2）当 时，直线 ，点 不在椭圆上；……………7分

当 时，可设直线 ，即 ……………8分

代入 整理得
因为 ，所以
若 关于直线 对称，则其中点 在直线 上……………10分

所以 ，解得 因为此时点 在直线 上，……………12分

所以对称点 与点 重合，不合题意所以不存在 满足条件.……………13分

20. （本题满分13分）已知函数 的图象在点 处的切线的斜率为2.
(Ⅰ)求实数 的值;
(Ⅱ)设 ,讨论 的单调性;
(Ⅲ)已知 且 ,证明:
解：（Ⅰ） 所以 ……1分
由题意 ,得 ……3分
(Ⅱ) ，所以 ……4分
设
当 时， ， 是增函数， ，
所以 ，故 在 上为增函数；          ……………5分
当 时， ， 是减函数， ，
所以 ，故 在 上为增函数；
所以 在区间 和 都是单调递增的。                     ……………8分
(Ⅲ)因为 ，由（Ⅱ）知 成立，即 ， ………9分
从而 ，即  ……………12分 
 所以 。……………13分

21.（本题满分13分）已知函数 ，各项均不相等的有限项数列 的各项 满足 .令 ， 且 ，例如： .
(Ⅰ)若 ，数列 的前n项和为Sn，求S19的值；
(Ⅱ)试判断下列给出的三个命题的真假，并说明理由。
①存在数列 使得 ；②如果数列 是等差数列，则 ；
③如果数列 是等比数列，则 。
解析： ………1分
 ………3分
 ………5分
（Ⅱ）①显然是对的，只需 满足 ……………7分
      ②显然是错的，若 ， ……………9分
③也是对的，理由如下：…………10分
首先 是奇函数，因此只需考查 时的性质，此时 都是增函数，从而 在 上递增，所以 在 上单调递增。
若 ，则 ，所以 ，即 ，所以 .
同理若 ，可得 ，
所以 时， .
由此可知，数列 是等比数列，各项符号一致的情况显然符合；
若各项符号不一致，则公比 且 ，
若 是偶数， 符号一致，
又 符号一致，所以符合 ；
若 是奇数，可证明 总和 符号一致”，
同理可证符合 ；……………12分
综上所述，①③是真命题；②是假命题……………13分
点击下载：湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中2015届高三上学期12月联考试题 数学（理）

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