2015株洲市高三一模数学理试题及答案

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株洲市2015届高三年级教学质量统一检测（一）
数学试题答案（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
命题人：张耀华（株洲市二中）  向为民（九方中学）  颜伟（南方中学）

第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．设集合 ， ，则 （  B   ）
A．       B.       C.     D. 
2．复数 （其中 为虚数单位）的虚部等于(  B  )
 A．            B．           C．           D．
3．已知样本数据 的平均数是5，标准差是 ，
   则 （  A    ）
   A．                    B．       
   C．      D．
4、阅读下面程序框图，则输出结果 的值为(  D   )                  
         A．       B．         
        C．         D．0
5．已知非零向量 ， ，则 =(　C　)
A． 　　   　  　B.           C. 　    　     D. 
6．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（  C   ）

[来

A．              B.                    C.                    D.

7．函数 的部分图象如图所示，若 ，则 等于(   A )
    A．        B．         C．         D． 
8.  给出下列两个命题：命题 ：“ ， ”是“函数 为偶函数”的必要不充分条件；命题 ：函数 是奇函数，则下列命题是真命题的是（C  ）
A．         B．        C．          D．
9．若双曲线 的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，且 ，那么α的值是（  D  ）
 A．  B．  C．  D．
 10．已知关于 的方程 在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是(   A    )
A.           B.        C.          D. 

二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，11，12,13为选做题，14,15,16为必做题，共25分．请将答案填在答题卷上）
（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分）
11．如图,在△ABC中，AB＝AC，∠C＝720，⊙O过A、B两点且
与BC相切于点B，与AC交于点D，连结BD，若BC＝ ,
   则AC＝   2      .

12．关于x的不等式 有解时，d的取值范围是          .
13．已知直角坐标系 中，直线l的参数方程： （t为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则以极点为圆心与直线l相切的圆的极坐标方程为                。
（二）必做题（14至16题）
14. 已知实数x、y满足 ，则目标函数 的最大值与最小值的和是  9     ．
15.  展开式的中间项系数为20，右图阴影部分是由曲线 和圆 及x轴围成的封闭图形， 则封闭图形的面积S=   
16.已知函数 的图像不经过第四象限，则函数 的值域为
             

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17、（本题满分12分）
设 , 满足 .
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）设 三内角 所对边分别为 且 ，求 在
   上的值域．
解：(1)
       
       的单调减区间为       …………6分
  （Ⅱ）  ,由余弦定理可变形为 ，
  由正弦定理：                                       …………10分
   由                       …………12分
18．（本小题满分12分)
  如图1，在Rt 中， ， ． ，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2．
（Ⅰ）求证：  平面 ；
（Ⅱ）若 ，求平面 与平面 所成二面角的大小． 

解：（Ⅰ）证明： 在△ 中，
         .又 .
        由
             .            …………5分
       （Ⅱ）如图,以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ．取A1C的中点F，连DF，
            则 
            
            由（1）可知， , 从而 
              为平面 的法向量，
            又  ，
            设平面 的法向量为
            由     
            
             平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为     …………12分

19.（本小题满分12分）
   某公司举办一次募捐爱心演出，有1000人参加，每人一张门票，每张100元。在演出过程中穿插抽奖活动，第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动。第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个实数 （ ），若满足 ，电脑显示“中奖”，则抽奖者再次获得特等奖奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不中特等奖奖金。
（Ⅰ）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；
（Ⅱ）设特等奖奖金为a元，求小李参加此次活动收益的期望，若该公司在此次活动中收益的期望值是至少获利70000元，求a的最大值。
解:（Ⅰ）设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A，所有基本事件构成区域的面积为16，事件A所包含的基本事件的 区域的面积为5，∴P(A)=  ．                …………5分
（Ⅱ）特等奖奖金为a元，设小李参加此次活动的收益为ξ，则ξ的可能取值为-100，900，a+900．
P(ξ=-100)= ，P(ξ=900)= ，P(ξ=a+900)=  ．
∴ξ的分布列为
ξ -100 900 a+900
P 
 
 

∴ ．    …………10分
∴该集团公司收益的期望为 ，
由题意 ，解得a≤6400．
故特等奖奖金最高可设置成6400元．                                     …………12分
20. （本小题满分13分）
已知数列 中， ， ，记 为 的前 项的和．
设 ，证明：数列 是等比数列；
不等式： 对于一切 恒成立，求实数 的最大值.
解：（1）
所以 是以 ，公比为 的等比数列.                               …………4分
 (2)由 知, ,
当 时,
当 时,
即                                           …………6分
 
 
  即得
所以                                                 …………11分
因 (当 时等号成立)，
即所求的 最大值 .                                              ………… 13分

21．（本小题满分13分）
如图，焦点在x轴的椭圆C： （b > 0），点G（2，0），点P在椭圆上，且PG⊥x轴，连接OP交直线x = 4于点M，连接MG交椭圆于A、B.

（Ⅰ）若G为椭圆右焦点，求|OM|；
（Ⅱ）记直线PA，PB的斜率分别为 ， ，求 的取值范围.

解：不妨设P在x轴上方，因为椭圆C的方程为 ，令x=2，则 ，
       所以点P的坐标为 ，
       根据题意可得P为线段OM的中点，所以M的坐标为 .
（Ⅰ）若G为椭圆右焦点，则 ，
      所以                     …………5分
（Ⅱ）因为直线AB过点M、G，所以AB的斜率为 ，
    则直线AB的方程为                     ① …………7分
  代入椭圆方程 并整理得：          .…………8分
设 ， ，则由韦达定理有
 ，                 ②
所以， .
因为直线AB的方程为 ，所以  ，
所以      ③     …………12分
因为  ， ，所以  ，
所以， 的取值范围是                         …………13分

22．（本小题满分13分）
已知函数 .
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)设函数 ，
（ⅰ）若函数 有且仅有一个零点时，求 的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若 ， ，求 的取值范围．
解：（1）当 时， 定义域 ，
 
 ，又
 在 处的切线方程                  …………4分
（2）（ⅰ）令
则
即                
 令 ，
则       
令
 ，
 ， 在 上是减函数
又
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
 
所以当函数 有且今有一个零点时，                    …………9分
（ⅱ）当 ， ，若 只需证明
 
 
令 得 或
又 ，
 函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增
又   ，         
 
即
                        …………13分
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