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四川省雅安市重点中学2015届高三1月月考
数学(理)试题
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)
1. 已知 是虚数单位,若复数 是纯虚数,则实数 等于
A. B. C. D.
2. 设 , , ,则
A. B. C. D.
3.己知命题 “ ”是假命题,则实数 的取值范围是
A. B. (−1, 3) C. D. (−3,1)
4. 执行如图所示的程序框图.若输入 ,则输出 的值是
A. B. C. D.
5.下列命题中,m、n表示两条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面.
①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ.
则正确的命题是
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
6. 函数 (其中A>0, )的图象如图所示,为了得到 的图象,则只需将g(x)=sin2x的图象
A. 向右平移 个长度单位
B. 向左平移 个长度单位
C. 向右平移 个长度单位
D. 向左平移 个长度单位
7. 已知三棱锥的底面是边长为 的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为
A. B. C. D.
8. 若 ,则 的值为
A. B. 1 C. 2 D.
9.已知函数 ,且函数 恰有3个不同的零点,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
10. 集合 其中 ,则满足条件: 中 最小,且 的概率为
A. B. C. D.
第II卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分. )
11. 已知数列 是等差数列,数列 是等比数列,则 的值为 .
12. .若关于 , 的不等式组 ( 是常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则 .
13. 在直角三角形 中, , ,点 是斜边 上的一个三等分点,则 .
14. 设F是抛物线C1: 的焦点,点A是抛物线与双曲线C2: 的一条渐近线的一个公共点,且 轴,则双曲线的离心率为 .
15. 给出定义:若 (其中 为整数),则 叫做离实数 最近的整数,记作 ,即 . 在此基础上给出下列关于函数 的四个命题:
① 的定义域是 ,值域是 ;
②点 是 的图像的对称中心,其中 ;
③函数 的最小正周期为 ;
④函数 在 上是增函数.
则上述命题中真命题的序号是 .
三、解答题(本大题共6小题,共75分.)[]
16.(本小题满分12分)
已知函数 的图像上两相邻最高点的坐标分别为 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且 求 的取值范围。
17.(本小题满分12分)
若盒中装有同一型号的灯泡共10只,其中有8只合格品,2只次品。
(Ⅰ)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次,每次取一只灯泡,求2次取到次品的概率;
(Ⅱ)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是正品则用它更换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中),求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数 的分布列和数学期望。
18.(本小题满分12分)
在数列 中, 为常数, ,且 成公比不等于1的等比数列.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)设 ,求数列 的前 项和 。
19.(本小题满分12分)
如图1,在Rt 中, , .D、E分别是 上的点,且 ,将 沿 折起到 的位置,使 ,如图2.
(Ⅰ)求证:平面 平面 ;
(Ⅱ)若 ,求 与平面 所成角的余弦值;
(Ⅲ)当 点在何处时, 的长度最小,并求出最小值.
20.(本小题满分13分)
已知椭圆 的两焦点在 轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点 的动直线 交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点Q,使得以AB为直径的圆恒过点Q ?若存在求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
21.(本小题满分14分)
已知函数 .
(Ⅰ)函数 在区间 上是增函数还是减函数?证明你的结论;
(Ⅱ)当 时, 恒成立,求整数 的最大值;
(Ⅲ)试证明: ( )。
2014—2015学年(上期)高三年级期末模拟
数学试题(理工类) 参考答案
三、解答题:
16.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)
由题意知 . ……………………………………..(4分)
(Ⅱ) 即 又 ,
. ……………………………………..(8分)
……………..(10分)
.……………..(12分)
17. (本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设一次取次品记为事件A,由古典概型概率公式得: ….(2分)
有放回连续取3次,其中2次取得次品记为事件B,由独立重复试验得:
…………………………………..(5分)
(Ⅱ)依据知X的可能取值为1.2.3 …………………………………..(6分)
且 …………………………………..(7分)
………………………………..(8分)
…………………………………..(9分)
则X的分布列如下表:
X 1 2 3
p
…………………………………..(10分)
…………………………………..(12分)
18. (本小题满分12分)
解:(Ⅰ)∵ 为常数,∴ …………………………..(2分)
∴ .
又 成等比数列,∴ ,解得 或 …………….(4分)
当 时, 不合题意,舍去. ∴ . …………………………………..(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ……………………………………(6分)
∴ ………………………………(9分)
∴
………………………………………(12分)
19.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)证明:在△ 中,
.又 平面 .
又 平面 ,又 平面 ,故平面 平面 ……(4分)
(Ⅱ)由(1)知 故以D为原点, 分别为x,y,z轴建立直角坐标系. 因为CD=2, 则 ……………(5分)
,设平面 的一个法向量为
则 取法向量 ,则直线BE与平面 所成角 ,
…………………………………(8分)
故直线BE与平面 所成角的余弦值为 . ………………………………(9分)
(Ⅲ)设 ,则 ,则 ,
,则当 时 最大为 . …………………(12分)
20.(本小题满分13分)
解: (Ⅰ)由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
又斜边长为2,即 故 ,
椭圆方程为 . ………………………………(4分)
(Ⅱ)当 与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为 ;
当 与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为
,故若存在定点Q,则Q的坐标只可能为 . ……(6分)
下证明 为所求:
若直线 斜率不存在,上述已经证明.设直线 ,
,
, . …………………………(8分)
…………(10分)
,即以AB为直径的圆恒过点 . … …………………(13分)
注: 此题直接设 ,得到关于 的恒成立问题也可求解.
21. (本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由题 … …………………(3分)
故 在区间 上是减函数 ……………………………(4分)
(Ⅱ)当 时, 在 上恒成立,取 ,则 , …………………………………(6分)
再取 则 ………………………(7分)
故 在 上单调递增,
而 , ………………………(8分)
故 在 上存在唯一实数根 ,
故 时, 时,
故 故 ………………………(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:
令 ,
又 []
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