2015上海市浦东新区高三一模数学试题及答案

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浦东新区2014学年度第一学期期末质量测试
                       高三数学                         2015.1

注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚.
      2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.

1．不等式 的解为           .
2．已知复数 满足 （ 为虚数单位），则            .
3．关于 的方程 表示圆，则实数 的取值范围是         .
4．函数 的最大值为           .
5．若 ，则实数 的取值范围是           .  
6．已知一个关于 的二元线性方程组的增广矩阵是 ，则 =           .
7．双曲线 的两条渐近线的夹角为           .
8．已知 是函数 的反函数，且 ，则实数            .
9．二项式 的展开式中，含 项系数为           .
10．定义在 上的偶函数 ，在 上单调递增，则不等式 的解是           .
11．如图，已知 平面 ， ， ， , 、 分别是 、 的中点. 则异面直线 与 所成角的大小为           .
12．若直线 的方程为 （ 不同时为零），则下列命题正确的是           .
（1）以方程 的解为坐标的点都在直线 上；
（2）方程 可以表示平面坐标系中的任意一条直线；
（3）直线 的一个法向量为 ；
（4）直线 的倾斜角为 .
二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13．设椭圆的一个焦点为 ，且 ，则椭圆的标准方程为               （    ）
                     
14．用1，2，3，4、5组成 没有重复数字的三位数，其中是奇数的概率为          （    ）
                                                 
15．下列四个命题中，为真命题的是                                          （    ）
 若 ，则                若 ， 则
 若 ，则                 若 ，则
16．某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为                                                （    ）
  84          78         81          96
17．等差数列 的前 项 和为 ，若 ， 的值为          （    ）
   10      20     25      30
18．“直线 垂直于 的边 ， ”是“直线 垂直于 的边 ”的  （    ）
 充分非必要条件                     必要非充分条件 
 充要条件                           既非充分也非必要条件
19．函数 的零点个数为                                   （    ）
  0               1                2               3
20．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前五个交易日，平均每天上涨5%，后五个交易日内，平均每天下跌4.9%. 则股民的股票赢亏情况(不计其它成本，精确到元)（    ）
 赚723元        赚145元         亏145元       亏723元
21．已知数列 的通项公式 ，则
                         （    ）
                    
22．如果函数 在区间 上是增函数，而函数 在区间 上是减函数，那么称函数 是区间 上“缓增函数”，区间 叫做“缓增区间”. 若函数 是区间 上“缓增函数”，则“缓增区间” 为                                  （    ）
                                  
23．设 为两个非零向量 的夹角，已知对任意实数 ， 的最小值为2，则 （    ）
 若 确定，则 唯一确定             若 确定，则 唯一确定
 若 确定，则 唯一确定             若 确定，则 唯一确定
24．已知 是关于 的方程 的两个实数根，则经过两点 ， 的直线与椭圆 公共点的个数是                            （    ）
  2               1                0              不确定
三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．

25．（本题满分7分）
已知函数 的定义域为集合 ，集合 . 若 ，求实数 的取值范围.

26．（本题满分8分）
如图所示，圆锥 的底面圆半径 ，其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，求此圆锥的体积．

27．（本题满分8分）
已知直线 与抛物线 交于 、 两点（ 为抛物线的焦点， 为坐标原点），若 ，求 的垂直平分线的方程.

28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)
在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ， 的平分线为 ，若
（1）当 时，求 的值；     
(2) 当 时，求实数 的取值范围.

29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）
在数列 ， 中， , , , （ ）.
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）设 为数列 的前 项的和，若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.

30．（本题满分8分）
某风景区有空中景点 及平坦的地面上景点 ．已知 与地面所成角的大小为 ，点 在地面上的射影为 ，如图.请在地面上选定点 ，使得 达到最大值.

31．(本题满分10分，第1小题4分、第2小题6分)
设函数 （ ）.
（1）设 且 ，试比较 与 的大小；
（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由.
①对任意 都有 成立；
②对任意 都有  成立；
③若关于 的不等式 在 有解，则 的取值范围是 .

32．(本题满分12分，第1小题5分、第2小题7分)
已知三角形 的三个顶点分别为 ， ， .
（1）动点 在三角形 的内部或边界上，且点 到三边 的距离依次成等差数列，求点 的轨迹方程；
（2）若 ，直线 : 将 分割为面积相等的两部分，求实数 的取值范围.

浦东新区2014学年度第一学期期末质量测试
高三数学参考答案及评分标准

一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.
1． ；   2． ；   3． ；   4．2；   5． ；   6．6；   7． ；
8． ；  9．24；  10． ；  11． （ ）；  12．（1）、（2）、（3）. 

二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.
13．  ；    14． ；     15． ；    16． ；    17． ；    18． ；
19． ；     20． ；     21． ；    22． ；    23． ；    24． .

三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．

25．（本题满分7分）
解：集合 ，……………………………………………………………………3分
因为 ，所以  ， .…………………………………6分
即 .  ………………………………………………………………………7分

26．（本题满分8分）
解：因为 ，所以弧 长为 ，……………………………………………2分
又因为 ，则有 ，所以 ．……………………4分
在 中， .  ， …………………6分
所以圆锥的体积 ． ………………………………………8分

27．（本题满分8分）
解： 的方程为： . 由   得 ，
所以 ，……………………………………………………………………3分
由 ，可求得 .………………………………………………………5分
所以 ， 中点 .…………………………………………………6分
所以 的垂直平分线的方程为： .………………………………8分

28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)
解：（1）由  又  得 ………2分
 …………………………………………………………………4分
      ……………………………………………6分
（2）由  得 ；…………………………………8分
又 =  ，…………………10分
所以 ， .……………………………………………12分
29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）
解：（1）因为 ， ， ，
即数列 是首项为2，公比为 的等比数列，
所以 .…………………………………………………………3分
         ， ， ，
所以，当 时， ，即 .…………………………6分
   （2）由   得 ， ，
         ， ，
因为 ，所以 .………………………8分
        当 为奇数时， 随 的增大而增大，
且 ， ， ；………………………10分
        当 为偶数时， 随 的增大而减小，
且 ， ， .
综上， .…………………………………………………………………13分
30．（本题满分8分）
解：因为 与地面所成的角的大小为 ， 垂直于地面， 是地面上的直线，
所以 .
∵ …………………………………………………………2分
∴
 
 ……………………………4分
 ……………6分

当 时， 达到最大值，
此时点 在 延长线上， 处.……………………………………8分

31．(满分10分，第1小题4分、第2小题6分)
解：（1）方法一（作商比较）：
显然 ， ，
于是 . ………1分
因为 .……………………………2分
又 .……3分
所以 .
即 .…………………………………………4分
方法二（作差比较）：
因为 .…………………………………1分
又 .……2分
   .
即 .………………………………………………………………4分
（2）结论①正确，因 . .
 .………………………………6分
结论②错误，举反例: 设  .（利用计算器） 等………………………………8分（ ，
 ，  均可）.
结论③正确，由 知 在区间 上是减函数.
所以 ，又 ，
所以 的值域为 .
要使不等式 在 有解，只要 即可.………………………10分

32．(满分12分，第1小题5分、第2小题7分)
解：（1）法1：设点 的坐标为 ，则由题意可知：
 ，由于 ， ， ，…2分
所以 ，…………………………………………………4分
化简可得： （ ）……………………………………5分
法2：设点 到三边 的距离分别为 ，其中 ， .所以  ………4分
于是点 的轨迹方程为 （ ）……………………5分
（2）由题意知道 ，
情况（1） .
直线 ： ，过定点 ，此时图像如右下：
由平面几何知识可知，直线 过三角形的重心 ，
从而 .………………………………………………7分
情况（2） .此时图像如右下：令 得 ，故直线 与两边 分别相交，设其交点分别为 ，则直线 与三角形两边的两个交点坐标 、 应该满足方程组： .
因此， 、 是一元二次方程： 的两个根.
即 , 
由韦达定理得： 而小三角形与原三角形面积比为 ，即 .
所以 ， ，亦即 .
再代入条件 ，解得 ，
从而得到 .……………………………………………………………11分
综合上述（1）（2）得： .……………………………………………12分
解法2：由题意知道
情况（1） .
直线 的方程为： ，过定点 ，
由平面几何知识可知，直线 应该过三角形的重心 ，
从而 .……………………………………………………………………7分
情况（2） .
设直线 ： 分别与边 ，
边 的交点分别为点 ，
通过解方程组可得： ， ，又点 ，
∴ = ，同样可以推出 .
亦即 ，再代入条件 ，解得 ，
从而得到 .………………………………………………………11分
综合上述（1）（2）得： .………………………………………12分

解法3：
情况（1） .
直线 的方程为： ，过定点 ，
由平面几何知识可知，直线 过三角形的重心 ，
从而 .………………………………………………………………………7分
情况（2） .
令 ，得 ，故直线 与两边 分别相交，
设其交点分别为 ，当 不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则 也不断减小.
当 时， 与 相似，由面积之比等于相似比的平方.
可知 ，所以 ，
综上可知 .…………………………………………………………12分
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