2015上海长宁区高三质检数学理试题及答案

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2014学年第一学期长宁区高三数学教学质量检测试卷(理)

考生注意:本试卷共有23道试题,满分150分.考试时间120分钟.解答必须写在答题纸上的规定区域,写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分.

一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.

1.函数y=sin2xcos2x的最小正周期是___________________.
2.若集合 ,则M∩N _______________.
3.复数 =______________.( 是虚数单位)
4.已知数列 的前 项和 ,则其通项公式为         
5. 已知 ,则          
6. 已知 且 ,则复数 对应点在第二象限的概率为 (用最简分数表示)
7.已知函数 , 是函数 的反函数,若 的图象过点 ,则 的值为  
8.如图,圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆,则该圆锥的
母线与底面所成的角的大小是                   .
9.根据右面的框图,打印的最后一个数据是          .
10.已知数列 是以 为公差的等差数列, 是其前
 项和,若 是数列 中的唯一最大项,则数列
 的首项 的取值范围是                 .
11.五位同学各自制作了一张贺卡,分别装入5个空白
信封内,这五位同学每人随机地抽取一封,则恰好
有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是       .

12. 已知△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且 , 则 的值是             。
13. 如图,在 中,点 是 的中点,过点 的直线分别交直线 , 于不同的两点 ,若 , ,则 的值为     .
14.已知 的展开式中的常数项为 , 是以 为
周期的偶函数,且当 时, ,若在区间 内,函数
有4个零点,则实数 的取值范围是        .

二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得5分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分.
15.设z1、z2∈C,则“z +z =0”是“z1=z2=0”的                   (    )
A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件    C.充要条件   D.既不充分也不必要条件
16.函数 的图象为                     (   )

 

 

 


     A                     B                   C                        D

17. 是△ABC所在平面内的一点,且满足 ,则△ABC的形状一定是                                                     (     )
  A. 正三角形     B. 直角三角形    C.等腰三角形       D.斜三角形
18.下面有五个命题:
①函数 的最小正周期是 ;
②终边在y轴上的角的集合是 ;
③在同一坐标系中,函数 的图象和函数 的图象有一个公共点;
④把函数 ;
⑤在 中,若 ,则 是等腰三角形 ;
其中真命题的序号是                                          (     )
 .(1)(2)(3)   .(2)(3)(4)    .(3)(4)(5)   .(1)(4)(5)

三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤.

19.(本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)
如图:三棱锥 中, 底面 ,若底面 是边长为2的正三角形,且 与底面 所成的角为 .若 是 的中点,求:
(1)三棱锥 的体积;
(2)异面直线 与 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

 

 

20.(本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)
已知
(1)求 的值;
(2)求 的值。


21.(本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题满分10分)
已知函数 的图像与 轴正半轴的交点为 , =1,2,3,….
(1) 求数列 的通项公式;
(2) 令 为正整数), 问是否存在非零整数 , 使得对任意正整数 ,都有 ? 若存在, 求出 的值 , 若不存在 , 请说明理由.

 


22.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
     已知函数 ( 、 ),满足 ,且 在 时恒成立.
(1)求 、 的值;
(2)若 ,解不等式 ;
(3)是否存在实数 ,使函数 在区间 上有最小值 ?若存在,请求出 的值;若不存在,请说明理由.

 

 


23. (本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)
已知数列 满足
(1)设 是公差为 的等差数列.当 时,求 的值;
(2)设 求正整数 使得一切 均有
(3)设 当 时,求数列 的通项公式.

 

 

 

 

 

 

参考答案(理)
一、填空题
1、    2、   3、   4、
5、   6、   7、    8、   9、   10、   11、
12、   13、2   14、
二、选择题
题号 15 16 17 18
答案 
 
 
 

三、解答题
19、[解](1)因为 底面 , 与底面 所成的角为
        所以  ………2分   因为 ,所以 …………4分
                     ………………6分
(2)连接 ,取 的中点,记为 ,连接 ,则
     所以 为异面直线 与 所成的角           ………………7分
     计算可得: , ,          ………………9分
                                ………………11分
    异面直线 与 所成的角为             ………………12分
20、【解】(1)由条件得到 ,………………2分
解得 或者  ………………4分
 ,  ………………6分
(2)  ………………2分+2分+2分=6分
21、(理)【解】:(1)设 ,  得  。
    所以 …………………………………………………………………………4分
(2) ,若存在 ,满足 恒成立
即: ,………………………………6分
  恒成立  ……………………………………………………8分
当 为奇数时,      ………………………………………10分
当 为偶数时,      …………………………………12分
所以   ………………13分,
故: ………………………14分

22、【解】(1)由 ,得 ,………………1分
因为 在 时恒成立,所以 且△ , ,
………………2分
即 , , ,所以 .……………4分
(2)由(1)得 ,由 ,得
 ,即 ,………………7分
所以,当 时,原不等式解集为 ;
当 时,原不等式解集为 ;
当 时,原不等式解集为空集 .                   ………………10分
(3) ,                   ………………11分
 的图像是开口向上的抛物线,对称轴为直线 .
假设存在实数 ,使函数 在区间 上有最小值 .
① 当 ,即 时,函数 在区间 上是增函数,所以 ,即 ,解得 或 ,
因为 ,所以 ;                            ………………13分
②当 ,即 时,函数 的最小值为 ,即
 ,解得 或 ,均舍去;                                                   ………………15分
③当 ,即 时, 在区间 上是减函数,所以 ,即 ,解得 或 ,因 ,所以 .            ………………17分
综上,存在实数 , 或 时,函数 在区间 上有最小值 .                                                 ………………18分

23、【解】(1) , ………………2分
  ………………4分
(2)由 ,  ………………5分
由 ,即 ; ………………7分
由 ,即   ………………9分
 .  ………………10分
(3)由 , ………………11分
故 ,
   ………………13分
当 时,以上各式相加得
       ………………15分
当 时,
 
 ………………17分
  ,  ………………18分
点击下载:上海长宁区2015年1月高三数学(理)试卷


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