2015上海长宁区高三质检数学理试题及答案

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2014学年第一学期长宁区高三数学教学质量检测试卷（理）

考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是___________________.
2．若集合 ，则M∩N _______________.
3．复数 =______________.（ 是虚数单位）
4．已知数列 的前 项和 ，则其通项公式为         
5. 已知 ，则          
6. 已知 且 ，则复数 对应点在第二象限的概率为 （用最简分数表示）
7．已知函数 ， 是函数 的反函数，若 的图象过点 ，则 的值为 　
8．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的
母线与底面所成的角的大小是                   .
9．根据右面的框图，打印的最后一个数据是          .
10．已知数列 是以 为公差的等差数列， 是其前
 项和，若 是数列 中的唯一最大项，则数列
 的首项 的取值范围是                 .
11．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白
信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好
有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是       .

12. 已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ， 则 的值是             。
13. 如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ，若 ， ，则 的值为     ．
14.已知 的展开式中的常数项为 ， 是以 为
周期的偶函数，且当 时， ，若在区间 内，函数
有4个零点，则实数 的取值范围是        ．

二．选择题(本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分．
15．设z1、z2∈C,则“z +z =0”是“z1=z2=0”的                   (    )
A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件    C.充要条件   D.既不充分也不必要条件
16．函数 的图象为                     （   ）

　    A                     B                   C                        D

17. 是△ABC所在平面内的一点，且满足 ，则△ABC的形状一定是                                                     （     ）
  A. 正三角形     B. 直角三角形    C.等腰三角形       D.斜三角形
18.下面有五个命题：
①函数 的最小正周期是 ；
②终边在y轴上的角的集合是 ；
③在同一坐标系中，函数 的图象和函数 的图象有一个公共点；
④把函数 ；
⑤在 中，若 ，则 是等腰三角形 ；
其中真命题的序号是                                          （     ）
 ．（1）（2）（3）   ．（2）（3）（4）    ．（3）（4）（5）   ．（1）（4）（5）

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤．

19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图：三棱锥 中， 底面 ，若底面 是边长为2的正三角形，且 与底面 所成的角为 ．若 是 的中点，求：
（1）三棱锥 的体积；
（2）异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
已知
（1）求 的值；
（2）求 的值。

21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）
已知函数 的图像与 轴正半轴的交点为 ， =1，2，3，…．
(1) 求数列 的通项公式；
(2) 令 为正整数）, 问是否存在非零整数 , 使得对任意正整数 ，都有 ？ 若存在, 求出 的值 , 若不存在 , 请说明理由．

22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
     已知函数 （ 、 ），满足 ，且 在 时恒成立．
（1）求 、 的值；
（2）若 ，解不等式 ；
（3）是否存在实数 ，使函数 在区间 上有最小值 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．

23. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列 满足
(1)设 是公差为 的等差数列.当 时,求 的值;
(2)设 求正整数 使得一切 均有
(3)设 当 时,求数列 的通项公式.

参考答案（理）
一、填空题
1、    2、   3、   4、
5、   6、   7、    8、   9、   10、   11、
12、   13、2   14、
二、选择题
题号 15 16 17 18
答案 
 
 
 

三、解答题
19、[解]（1）因为 底面 ， 与底面 所成的角为
        所以  ………2分   因为 ，所以 …………4分
                     ………………6分
（2）连接 ，取 的中点，记为 ，连接 ，则
     所以 为异面直线 与 所成的角           ………………7分
     计算可得： ， ，          ………………9分
                                ………………11分
    异面直线 与 所成的角为             ………………12分
20、【解】（1）由条件得到 ，………………2分
解得 或者  ………………4分
 ，  ………………6分
（2）  ………………2分+2分+2分=6分
21、（理）【解】：（1）设 ，  得  。
    所以 …………………………………………………………………………4分
（2） ，若存在 ，满足 恒成立
即： ，………………………………6分
  恒成立  ……………………………………………………8分
当 为奇数时，      ………………………………………10分
当 为偶数时，      …………………………………12分
所以   ………………13分，
故： ………………………14分

22、【解】（1）由 ，得 ，………………1分
因为 在 时恒成立，所以 且△ ， ，
………………2分
即 ， ， ，所以 ．……………4分
（2）由（1）得 ，由 ，得
 ，即 ，………………7分
所以，当 时，原不等式解集为 ；
当 时，原不等式解集为 ；
当 时，原不等式解集为空集 ．                   ………………10分
（3） ，                   ………………11分
 的图像是开口向上的抛物线，对称轴为直线 ．
假设存在实数 ，使函数 在区间 上有最小值 ．
① 当 ，即 时，函数 在区间 上是增函数，所以 ，即 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ；                            ………………13分
②当 ，即 时，函数 的最小值为 ，即
 ，解得 或 ，均舍去；                                                   ………………15分
③当 ，即 时， 在区间 上是减函数，所以 ，即 ，解得 或 ，因 ，所以 ．            ………………17分
综上，存在实数 ， 或 时，函数 在区间 上有最小值 ．                                                 ………………18分

23、【解】(1) , ………………2分
  ………………4分
(2)由 ,  ………………5分
由 ,即 ; ………………7分
由 ,即   ………………9分
 .  ………………10分
(3)由 , ………………11分
故 ,
   ………………13分
当 时,以上各式相加得
       ………………15分
当 时,
 
 ………………17分
  ,  ………………18分
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