2015上海市五校高三联考数学理试题及答案

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2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷（理科）

考生注意：
1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分。
2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的指定位置以及答题卡上准确填写学校、姓名、
考号等信息。
3、考试结束只交答题卡和答题纸。

一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）
1．已知 为角 终边上的一点，则          ．
2．已知向量 ，若 ，则 ＝________．　
3．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是       ．
4．已知幂函数 过点 ，则 的反函数为          ．
5．若无穷等比数列 满足： ，则首项 的取值范围为       ．
6．若直线 平分圆 的面积，则直线 的倾斜角为        ．（用反三角函数值表示）
7．已知偶函数 在 上满足：当 且 时，总有 ，则不等式 的解集为        ．
8．如图所示为函数 ( )的部
分图象,其中 ，那么  ___________.
9. 已知函数  ，若对任意的 ，不等式
 恒成立，则实数 的取值范围是         .
10. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点 ，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则        ．
11. 在正 中， 是 上的点，若 ，则         ．
12．已知奇函数 是定义在 上的增函数，数列 是一个公差为2的等差数列，满足
 ，则 的值为         ．
13．过点 且方向向量为 的直线交双曲线 于 两点，记原点为 ， 的面积为 ，则  ____  ____．
14. 设 ，其中 成公比为 的等比数列， 成公差为1的等差数列，则 的最小值是____  ____．

二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）
15．已知命题 ，命题 ，则命题 是命题 成立的（    ）
A．充分不必要条件                    B．必要不充分条件 
C．充分必要条件                      D．既不充分也不必要条件
16．已知直线 和直线 ，则下述关于直线 关系的判断正确的是（　  ）
A. 通过平移可以重合                    B. 不可能垂直  
C. 可能与 轴围成等腰直角三角形        D. 通过绕 上某点旋转可以重合
17．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数 与该班人数 之间的函数关系用取整函数 （其中 表示不大于 的最大整数）可以表示为（    ）
A．      B．       C．       D．
18. 设  ，定义运算“  ”和“  ”如下： ，  ．若正数 满足  ，则（    ）
A．                  B．
C．                  D．

三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .）
19.（本题满分12分）第1小题满分7分，第2小题满分5分．
在 中，角 的对边分别为 ，向量 ， ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求角 的大小及向量 在 方向上的投影．

20.（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知椭圆 长轴的一个端点是抛物线 的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 、 是椭圆 的左右端点， 为原点， 是椭圆 上异于 、 的任意一点，直线 、 分别交  轴于 、 ，问 是否为定值，说明理由．

21.（本题满分14分）第1小题满分8分，第2小题满分6分．
等差数列 的前 项和 ，数列 满足 ．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：
① ； ② ；
③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ．
（1）求数列 的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数 的值；
（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角 的三角恒等式，并证明你的结论．

22.（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
若函数 在定义域内存在实数 ，满足 ，则称 为“局部奇函数”．
（1）已知函数 ，试判断 是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（2）设 是定义在 上的“局部奇函数”，求实数 的取值范围；
（3）若 为定义域 上的“局部奇函数”，求实数 的取值范围．[来源:

23.（本题满分18分）第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．
由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到 可得到“ 边形数列”，记它的第 项为 ．
   
1，3，6，10        1，4，9，16          1，5，12，22         1，6，15，28
（1）求使得 的最小 的取值；
（2）试推导 关于 、 的解析式；
（3）是否存在这样的“ 边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷答案 （理科）
一、填空题
1、                    2、                3、               
4、             5、        6、
7、               8、                 9、      
10、                 11、                12、
13、                   14、
二、选择题
15、     16、     17、     18、
三、简答题
19、（1）由       …3分
        又 ，则                        …6分
   （2）由                       …7分
       又                                    …8分
      由余弦定理，得 或 （舍）  …10分
则 在 方向上的投影为              …12分

20、（1）根据条件可知椭圆的焦点在 轴，且 ，          …2分
又 ，所以   
故椭圆 的标准方程为 ．                        …6分
（2）设 ，则 ，且     
又直线 ，直线    …10分
令  ，得：            
故   为定值.                  …14分

21、（1）当 时，                                    …1分
    当 时，          …3分
   ∵当 时， 适合此式 ∴数列 的通项公式为   …5分
选择②，计算如下：                                      …6分
 ＝
＝ ＝                                                …8分
（2）由（1）知， ，
因此推广的三角恒等式为    …10分
证明:       
=  
=
= ＝                                         …14分

22、（1） 为“局部奇函数”等价于关于 的方程 有解．
即 有解            …2分
因 ，得 
 为“局部奇函数”．                                   …4分
 （2）存在实数 满足 ，即 在 有解 
令 ，
则 在 上有解                                  …7分
因为 在 上递减，在[1,2]上递增，     
 ，故                                …10分
（3）存在实数 满足 ，
即 在 有解
令 ，且           
从而 （*）在 上有解         …12分
 
  若 ，即 时，则方程（*）在 上有解
  若 ，即 或 时，结合图像，方程（*）有解，则
   
  综上，所求 的取值范围为  ．                        …16分

23、（1）                            …3分
     由题意得 ,
     所以，最小的 .                                            …5分
  （2）设 边形数列所对应的图形中第 层的点数为 ，则
从图中可以得出：后一层的点在 条边上增加了一点,两条边上的点数不变
     则 ，
得 是首项为1公差为 的等差数列
则 .（或 等）       … 12分
   （3）                        …14分
     显然 满足题意，                                          …15分
     而结论要对于任意的正整数 都成立，则 的判别式必须为零
    所以 ，得                                  
故满足题意的数列为“三角形数列”.                             …18分
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