2015云南红河州高三检测数学理试题及答案

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红河州2015届高三毕业生复习统一检测数学(理)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后,将答题卡交回。满分150分,考试用时l20分钟。
注意事项:  
1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码。   
2.第一卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试卷上的答案无效。
第I卷(选择题  共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。   
1.已知集合 , ,则集合 (       )
A.    B.    C.    D. 
2.设 是虚数单位,若复数 满足 ,则复数 (       )
A.    B.   C.   D.
3.若 为实数,则“ ”是“ 或 ”的(       )条件
  A.充分必要  B.充分而不必要  
C.必要而不充分  D. 既不充分也不必要

4. 一几何体的三视图如图,其中侧(左)视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正(主)视图为直角梯形,则此几何体体积的大小为(      )

A.12                      B.16              C.48                      D.64
5.从某校高三100名学生中采用系统抽样的方法抽取10名学生作代表,学生的编号从00到99,若第一组
中抽到的号码是03,则第三组中抽到的号码是(       )
A.      B .    C.    D. 
6.已知直线 和平面 ,则能推出 的是(    )
A. 存在一条直线 , ,且  B. 存在一条直线 , ,且   
C. 存在一个平面 , ,且   D. 存在一个平面 , ,且
7.若函数 的最小正周期为1,则函数 的一个零点为(    )
A.                                    B.                         C.    D. 
8.执行如图所示的程序框图,若输入  ,则输出 的取值范围是

A.          B.    
C.    D.
9.若直线 与曲线 有公共点,则 的取值范围是(       )
A.           B.   C.       D. 
10. 某班有50名学生,一次数学考试的成绩 服从正态分布 ,已知 ,
估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为(       )
A. 10                                  B. 9                             C. 8                       D. 7
11.双曲线 与曲线 的交点恰为某正方形的四个顶点,则双曲线的离心率为(  )
A.   B.    C.    D. 

12. 已知函数 ,方程 有四个不同的实数根,则 的取值范围为 (     )                                            
A.     B.    C.         D. 
第Ⅱ卷(非选择题  共90分)
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分。
13.已知 ,则 的展开式中含 项的系数为          (用具体数字作答)。
14.如图,山上原有一条笔直的山路 ,现在又新架设了一条索道 ,某人在山脚 处看索道 ,发现张角 ;从 处攀登400米到达 处,回头再看索道 ,发现张角 ;从 处再攀登800米到达 处,则索道 的长为 米。       

15.在无重复数字的三位数中, 数字2在3的左侧(不一定相邻)的三位数有        个(用具体数字作答)。

16. 如图,从一点 引出三条射线 与直线 分别交于 三个不同的点,则下列命题正确的是                        。
①若 ,则 ;
②若先引射线 与 交于 两点,且 恰好是夹角为 的单位向量,再引射线 与直线 交于点 ( 在 之间),则 的面积 的概率是 ;
③若 , 和 的夹角为 , 和 的夹角为 ,则 ;
④若 为 中点, 为线段 上一点(不含端点),且 ,过 作直线 分别交射线 于 ,若 ,则 的最大值是 。
三、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本题满分12分 )
已知数列 的各项均为正数,  为其前 项的和,且对于任意的 ,都有 。
(1)求 的值和数列 的通项公式;
(2)求数列 的前 项和 。

 

 

 


18.(本题满分12分 )
设不等式 确定的平面区域为 , 确定的平面区域为 。
(1)定义:横、纵坐标均为整数的点为“整点”,在区域 内任取3个整点,求这些整点中恰有2个整点在区域 的概率;
(2)在区域 内任取3个点,记这3个点在区域 的个数为 ,求 的分布列和数学期望。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.(本题满分12分 )
如图,△ 中, ,点 分别是 、 的中点,且 ,现将△ 沿着边 折起到△ 位置,使 ⊥ ,连结 、 。
(1)求证: ⊥ ;
(2)求二面角 的平面角的余弦值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


20.(本题满分12分 )
已知点 是抛物线 上一点, 为抛物线的焦点,准线 与 轴交于点 ,
已知 ,三角形 的面积等于8。
(1)求 的值;
(2)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线 ,与抛物线相交得两条弦,两条弦的中点分别为 ,求 的最小值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


21.(本题满分12分 )
已知函数 在 处的切线 与直线 垂直,函数 。
(1)求实数 的值;
(2)若函数 存在单调递减区间,求实数 的取值范围;
(3)设 是函数 的两个极值点,若 ,求 的最小值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


选考题:本小题满分10分
请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,过点C作⊙O的切线,交BD的延长线于点P,
交AD的延长线于点E。
(1)求证:AB2=DE•BC;
(2)若BD=9,AB=6,BC=9,求切线PC的长。                     

23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 ( 为参数),直线 与曲线 交于 两点 。
(1)求线段 的长;
(2)以 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 的极坐标为 ,求点 到线段 中点 的距离。

 


24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
设函数 。
(1)证明:当 时,不等式 成立;
(2)关于 的不等式 在 上恒成立,求实数 的最大值。
 
2015年红河州高中毕业生复习统一检测
理科数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D B B B C A C D B B A
二、填空题
13.      14.      15.23     16. ①③
三、解答题
17. 解:(1) 时,                  
             时,                  ……… (3分)
 时,
            
 
              
               
              是以为1首项,2为公差的等差数列                   
                                              ……… (6分)
        (2)                     ……… (8分)
                                     
                                     .……… (12分)
18.解 (1)依题可知平面区域 的整点为 共有13个,
  平面区域 的整点为 共有5个,                          …2分
 ∴      ……4分
(2)依题可得:平面区域 的面积为: ,平面区域 的面积为: ,
在区域 内任取1个点,则该点在区域 内的概率为 ,                 …………5分
易知: 的可能取值为 ,                                         …………6分[
且  ,
 …10分
∴ 的分布列为:
  
0 1 2 3
 
 
 
 
 

                                                              …………11分
∴ 的数学期望: ……12分
(或者:  ,故 )
19. 解:(1)∵点D是 的中点,且 ,
所以点B在以点D为圆心,RC为半径的圆上,
所以∠RBC=90º,                                              …… 2分
又因为点A是 的中点,
∴ ,
∴∠ =90º,
∴ ,

∵ ,
∴ ⊥平面 ,                                              …… 4分
∵ 平面 ,
∴                                                     …… 6分
(2)法1:取 的中点 ,连结 、 ,
∵ ,∴ ,
∵ ,∴ 平面 ,
∵ 平面 ,∴ ,   

∴ 平面 ,
∵ 平面 ,∴ ,
∴∠ 是二面角 的平面角,                            ……9分
在Rt△ 中, ,
在Rt△ 中, , .
∴ 二面角 的平面角的余弦值是 .                   ……12分
法2:建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则 (-1,0,0), (-2,1,0), (0,0,1).
∴ =(-1,1,0), =(1,0,1),       ……8分
设平面 的法向量为 =(x,y,z),则:
 ,
令 ,得 ,∴ =(1,1,-1),
显然, 是平面 的一个法向量, =(  ),                  ……10分
∴cos< , >= ,
∴二面角 的平面角的余弦值是 .                         ……12分
20. 解:(Ⅰ)设 ,因为抛物线的焦点 ,准线 的方程为: 作 于

则                                             …………1分
 ,       …2分
 ,而点A在抛物线上,
 .                         ……………4分
又                     ………………6分
(Ⅱ)由 ,得 ,显然直线 , 的斜率都存在且都不为0.
设 的方程为 ,则 的方程为 .
    由  得 ,同理可得              .………8分
   则
=  .(当且仅当 时取等号)
所以 的最小值是8.                                          …………12分
21. 解: ∵ ,∴ .                       …………1分
 ∵ 与直线 垂直,∴ ,∴  .            …………3分
(2) 由题知 在 上有解, 设 ,则 ,所以只需 故b的取值范围是 .               ………8分
(3)  ,所以令       
 
所以设  
  ,所以 在 单调递减, 
   ,
故所求的最小值是                                                 …………12分
22. 解:证明 ∵AD∥BC,∴ .
∴AB=CD,∠EDC=∠BCD.
又PC与⊙O相切,∴∠ECD=∠DBC.
∴△CDE∽△BCD.∴DCBC=DEDC.
∴CD2=DE•BC,即AB2=DE•BC.
(2)解 由(1)知,DE=AB2BC=629=4,
∵AD∥BC,∴△PDE∽△PBC,
∴PDPB=DEBC=49.
又∵PB-PD=9,
∴PD=365,PB=815.∴PC2=PD•PB=365•815=54252.∴PC=545.

23. 解 (Ⅰ)直线 的参数方程的标准形式为 ( 为参数),代入曲线 得 .
设 , 对应的参数分别为 , .则 , .
所以 .              …………………………………… 5分
(Ⅱ)由极坐标与直角坐标互化公式得点 的直角坐标 .所以点 在直线 .
中点 对应参数为 ,由参数 几何意义,所以点 到线段 中点 的距离 .                           ………………………………… 10分
 
24. 解 (1) : 的最小值为3
 ,所以 成立.              (5分)
(2) 由绝对值的性质得
 ,
所以 最小值为 ,从而 ,解得 ,因此 的最大值为2.    (10分)
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