2015上海静安区高三一模数学文试题及答案

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静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测
数学(文)试卷
            (试卷满分150分  考试时间120分钟)    2014.12
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1. 计算:            .
2. 已知集合 , ,则          .
3. 已知等差数列 的首项为3,公差为4,则该数列的前 项和            .
4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球,从中任意摸出2个,共有        种不同结果(用数值作答).
5. 不等式 的解集是               .
6. 设 ,则          .
7. 已知圆锥底面的半径为1,侧面展开图是一个圆心角为 的扇形,则该圆锥的侧面积是              .
8. 已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合,始边在 轴的正半轴上,终边在射线 ( )上,则            .
9. 已知两个向量 , 的夹角为 , , 为单位向量, ,若 ,则            .
10. 已知两条直线的方程分别为 : 和 : ,则这两条直线的夹角大小为               (结果用反三角函数值表示).
11. 若 , 是一二次方程 的两根,则            .
12. 直线 经过点 且点 到直线 的距离等于1,则直线 的方程是                            .
13. 已知实数 、 满足 ,则 的取值范围是           .
14. 一个无穷等比数列的首项为2,公比为负数,各项和为 ,则 的取值范围是      .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15. 在下列幂函数中,是偶函数且在 上是增函数的是(      )
A.           B.           C.            D. 
16. 已知直线 : 与直线 : ,记 . 是两条直线 与直线 平行的(      )
A. 充分非必要条件            B. 必要非充分条件
C. 充要条件                  D. 既非充分又非必要条件
17. 已知 为虚数单位,图中复平面内的点 表示复数 ,
则表示复数 的点是(      )
A.        B.        C.         D. 
18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(      )
A. 1个            B. 4个            C. 7个            D. 8个
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
在锐角 中, 、 、 分别为内角 、 、 所对的边长,且满足 .
(1)求 的大小;
(2)若 , 的面积 ,求 的值.

 

 

 

 

 

 


20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分.
上海出租车的价格规定:起步费14元,可行3公里,3公里以后按每公里2.4元计算,可再行7公里;超过10公里按每公里3.6元计算,假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用,也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况,即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
(1)小明乘出租车从学校到家,共8公里,请问他应付出租车费多少元?(本小题只需要回答最后结果)
(2)求车费 (元)与行车里程 (公里)之间的函数关系式 .

 

 

 

 


21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.
如图,正方体 的棱长为2,点 为面 的对角线 的中点. 平面 交 与 , 于 .
(1)求异面直线 与 所成角的大小;(结果可用反三角函数值表示)
(2)求三棱锥 的体积.

 

 

 

 

 

 

 

 


22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分8分.
已知函数 (其中 ).
(1)判断函数 的奇偶性,并说明理由;
(2)求函数 的反函数 ;
(3)若两个函数 与 在闭区间 上恒满足 ,则称函数 与 在闭区间 上是分离的.
试判断函数 与 在闭区间 上是否分离?若分离,求出实数 的取值范围;若不分离,请说明理由.

 

 

 


23.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.
在数列 中,已知 ,前 项和为 ,且 .(其中 )
(1)求 ;
(2)求数列 的通项公式;
(3)设 ,问是否存在正整数 、 (其中 ),使得 、 、 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组 ;否则,说明理由.

 

 

 

 

静安区2014学年第一学期期末教学质量检测
高三年级数学(文科)试卷答案
            (试卷满分150分  考试时间120分钟)    2014.12
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1. 计算:            .
解: .
2. 已知集合 , ,则          .
解: .
3. 已知等差数列 的首项为3,公差为4,则该数列的前 项和            .
解: .
4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球,从中任意摸出2个,共有        种不同结果(用数值作答).
解:45.
5. 不等式 的解集是               .
解: .
6. 设 ,则          .
解:256.
7. 已知圆锥底面的半径为1,侧面展开图是一个圆心角为 的扇形,则该圆锥的侧面积是              .
解: .
8. 已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合,始边在 轴的正半轴上,终边在射线 ( )上,则            .
解: .
9. 已知两个向量 , 的夹角为 , , 为单位向量, ,若 ,则            .
解:-2.
10. 已知两条直线的方程分别为 : 和 : ,则这两条直线的夹角大小为               (结果用反三角函数值表示).
解: (或 或 ).
11. 若 , 是一二次方程 的两根,则            .
解:-3.
12. 直线 经过点 且点 到直线 的距离等于1,则直线 的方程是                            .
解: 或 .
13. 已知实数 、 满足 ,则 的取值范围是           .
解: .
14. 一个无穷等比数列的首项为2,公比为负数,各项和为 ,则 的取值范围是      .
解: .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15. 在下列幂函数中,是偶函数且在 上是增函数的是(      )
A.           B.           C.            D. 
解:D.
16. 已知直线 : 与直线 : ,记 . 是两条直线 与直线 平行的(      )
A. 充分非必要条件            B. 必要非充分条件
C. 充要条件                  D. 既非充分又非必要条件
解:B.
17. 已知 为虚数单位,图中复平面内的点 表示复数 ,
则表示复数 的点是(      )
A.        B.        C.         D. 
解:D.
18. 到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(      )
A. 1个            B. 4个            C. 7个            D. 8个
解:C.
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
在锐角 中, 、 、 分别为内角 、 、 所对的边长,且满足 .
(1)求 的大小;
(2)若 , 的面积 ,求 的值.
解:(1)由正弦定理: ,得 ,∴   ,(4分)
    又由 为锐角,得 .(6分)
(2) ,又∵   ,∴   ,(8分)
根据余弦定理: ,(12分)
∴   ,从而 .(14分)
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分.
上海出租车的价格规定:起步费14元,可行3公里,3公里以后按每公里2.4元计算,可再行7公里;超过10公里按每公里3.6元计算,假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用,也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况,即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
(1)小明乘出租车从学校到家,共8公里,请问他应付出租车费多少元?(本小题只需要回答最后结果)
(2)求车费 (元)与行车里程 (公里)之间的函数关系式 .
解:(1)他应付出出租车费26元.(4分)
(2) .
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分.
如图,正方体 的棱长为2,点 为面 的对角线 的中点. 平面 交 与 , 于 .
(1)求异面直线 与 所成角的大小;(结果可用反三角函数值表示)
(2)求三棱锥 的体积.
解:(1)∵  点 为面 的对角线 的中点,且 平面 ,
∴   为 的中位线,得 ,
又∵   ,∴   ,(2分)
∵  在底面 中, , ,∴   ,
又∵   , 为异面直线 与 所成角,(6分)
在 中, 为直角, ,∴   .
即异面直线 与 所成角的大小为 .(8分)
(2) ,(9分)
 ,(12分)
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分8分.
已知函数 (其中 ).
(1)判断函数 的奇偶性,并说明理由;
(2)求函数 的反函数 ;
(3)若两个函数 与 在闭区间 上恒满足 ,则称函数 与 在闭区间 上是分离的.
试判断函数 与 在闭区间 上是否分离?若分离,求出实数 的取值范围;若不分离,请说明理由.
解:(1)∵   ,∴  函数 的定义域为 ,(1分)
又∵   ,
∴  函数 是奇函数.(4分)
(2)由 ,且当 时, ,
当 时, ,得 的值域为实数集.
解 得 , .(8分)
(3) 在区间 上恒成立,即 ,
即 在区间 上恒成立,(11分)
令 ,∵   ,∴   ,
 在 上单调递增,∴   ,
解得 ,∴   .(16分)
23.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分7分.
在数列 中,已知 ,前 项和为 ,且 .(其中 )
(1)求 ;
(2)求数列 的通项公式;
(3)设 ,问是否存在正整数 、 (其中 ),使得 、 、 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组 ;否则,说明理由.
解:(1)∵   ,令 ,得 ,∴   ,(3分)
或者令 ,得 ,∴   .
(2)当 时, ,
∴   ,∴   ,
推得 ,又∵   ,∴   ,∴   ,
当 时也成立,∴   ( ).(9分)
(3)假设存在正整数 、 ,使得 、 、 成等比数列,则 、 、 成等差数列,故 (**)(11分)
由于右边大于 ,则 ,即 ,
考查数列 的单调性,∵   ,
∴  数列 为单调递减数列.(14分)
当 时, ,代入(**)式得 ,解得 ;
当 时, (舍).
综上得:满足条件的正整数组 为 .(16分)
(说明:从不定方程 以具体值代入求解也可参照上面步骤给分)
点击下载:上海市静安区2015届高三第一学期期末教学质量检测数学(文)试卷


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