对数函数的导数及相关知识点

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  对数函数的导数

  对数函数求导

  (Inx)'=1/x(ln为自然对数),(logax)'=x^(-1)/lna(a>0且a不等于1)。

  一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

  底数则要>0且≠1真数>0

  并且,在比较两个函数值时:

  如果底数一样,真数越大,函数值越大。(a>1时)

  如果底数一样,真数越小,函数值越大。(0

  对数函数

  一般地,对数函数是以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数。

  其中对数的定义:如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

  一般地,函数y=logaX(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。

  其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞),即x>0。它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

对数函数的相关知识点

  对数的定义

  如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。

  注:1、以10为底的对数叫做常用对数,并记为lg。

  2、称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数,并记为ln。

  3、零没有对数。

  4、在实数范围内,负数无对数。在复数范围内,负数是有对数的。

  对数函数的定义

  一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。

  其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞)。它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

  对数函数的性质

  定义域求解:对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1}

  值域:实数集R,显然对数函数无界。

  定点:函数图像恒过定点(1,0)。

  单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数;

  奇偶性:非奇非偶函数

  周期性:不是周期函数

  对称性:无

  最值:无

  零点:x=1

  注意:负数和0没有对数。

  两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。

  对数公式运算法则

  对数的定义

  如果 a^x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作 x=log(a)N .其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。且a>o并且a≠1,N>0

  在实数范围内,负数和0没有对数。在复数范围内,负数有对数。

  由于数学是为现实生活服务的——建立的必须是现实存在的数学模型,故在现实生活中不存在真数为负数的数学模型。所以,高等数学中真数为负数的情况仅在理论上成立。

  对数公式运算法则

  对数运算法则,是一种特殊的运算方法。指积、商、幂、方根的对数的运算法则。在数学中,对数是对求幂的逆运算,正如除法是乘法的倒数,反之亦然。

  这意味着一个数字的对数,是必须产生另一个固定数字(基数)的指数。 一般来说,乘幂允许将任何正实数,提高到任何实际功率,总是产生正的结果,因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。

  由指数和对数的互相转化关系可得出:两个正数的积的对数,等于同一底数的这两个数的对数的和,两个正数商的对数,等于同一底数的被除数的对数减去除数对数的差。一个正数幂的对数,等于幂的底数的对数乘以幂的指数。若式中幂指数则有以下的正数的算术根的对数运算法则:一个正数的算术根的对数,等于被开方数的对数除以根指数。

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