“实数的新运算知识”例题解析
近年来，随着新课标的实行，中考试题愈加新颖和开放，愈加注重创新和应用。有关实数运算的创新题更是百花齐放，令人目不暇接，它们起点适中、形式新颖、视点独特、凸显能力。为帮助同学们熟悉新题型，迎接新挑战，特采撷几例典型题及运算方法供同学们参考。
一. 开放型运算
例1. 在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，再用“+，-，×，÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数。
解析：根据运算的条件和要求，本题答案不唯一，有多种组合的方式。如：
点评：本题是限制条件和要求、开放运算和结论，它虽未在难度上着墨，但开放视角独特，颇有新意，从解题到命题，体现出对灵活思维的要求，易激活学生的思维，给学生提供了自由发挥的广阔的思维空间，值得重视。
二. 程序型运算
例2. 有一个数值转换器，原来如下：当输入的x为64时，输出的y是( )
A. 8 B. C. D.
解析：根据运算程序可知，当输入的x为64时，其算术平方根8是有理数;于是再取8的算术平方根是无理数，故输出的y是。本题选择B。
点评：此类结构主要是考查符号语言、图象语言间的转译能力及推理运算能力，解决它的关键是要准确理解新程序的数学意义。
三. 估算型运算
例3. 大家知道是一个无理数，那么在哪两个整数之间( )
A. 1与2 B. 2与3 C. 3与4 D. 4与5
解析：，即，
。
显然本题应选择A。
点评：对无理数作近似估算是新课标所要求的，同学们必须掌握“估算法”这种解题方法，以便于在具体的实际问题能及时作出快速的处理。
四. 定义型运算
例4. 在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“”如下：
当时，;当时，。则当时，的值为___________(“·”和“-”仍为实数运算中的乘号和减号)。
解析：根据定义的新运算，当x=2时，
，故;
，因此
所以。
点评：解决这类定义新运算的关键是理解新的运算规则，并将它向已有知识的转化;体现了新课程“知识立意向能力立意过渡”的要求，突出对学生数学素养的考查。
五. 形数型运算
例5. 数轴上表示1，的对应点A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是( )
A. B.
C. D.
解析：不妨设点C所表示的数是x，由对称性知道AC=AB，结合数轴有，解得。即点C所表示的数是。
点评：实数和数轴上的点是一一对应的，本题“形”“数”结合，所反映的正是数学中的一种思想方法“数形结合”。
六. 操作型运算
例6. 已知(n为正整数)。当时，有;请用计算器计算当时，A、B的若干个值，并由此归纳出当以时，A、B间的大小关系为_________。
解析：由计算器操作，当以n=6时有;当以时仍有，…。由此归纳出当以时，A>B。
点评：这是一道考查学生正确使用计算器并作猜测、推断的试题，引导学生边操作边思考，从而探寻并归纳A、B的大小关系，思维在不知不觉中得到展示如行云流水，层层推进……
七. 规律型运算
例7. 老师在黑板上写出三个算式：，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：，…
(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式;
(2)用文字写出反映上述算式的规律;
(3)证明这个规律的正确性。
解析：(1)略。
(2)规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数;
(3)证明：设m，n为两个整数，则两个奇数可表示为和，则。
当同是奇数或偶数时，一定为偶数，所以一定是8的倍数。
当一奇一偶时，则一定为偶数，所以一定是8的倍数。
所以任意两个奇数的平方差为8的倍数。
点评：本题重在考查学生观察问题、探究规律的思维能力。此类探究型试题对训练学生的发散性思维进而培养创新意识和创新能力大有裨益，规律探索型的试题在中考中备受青睐，希望同学们熟悉。掌握它。
八. 应用型运算
例8. 某单位需以“挂号信”或“特快专递”方式向五所学校各寄一封信。这五封信的重量分别是72g、90g、215g、340g、400g。根据这五所学校的地址及信件的重量范围，在邮局查得相关邮费标准如下：
(1)重量为90g的信若以“挂号信”方式寄出，邮寄费为多少元?若以“特快专递”方式寄出呢?
(2)这五封信分别以怎样的方式寄出最合算?请说明理由。
(3)通过解答上述问题，你有何启示?(请你用一、两句话说明)
解：(1)重量为90g的信以“挂号信”方式寄出，则邮寄费为(元);
以“特快专递”方式寄出，邮寄费为(元)。
(2)∵这五封信的重量均小于1000g，
∴若以“特快专递”方式寄出，邮寄费为5+3+1=9(元)。
由(1)得知，重量为90g的信以“挂号信”方式寄出，费用为7.5元小于9元;
∵72g<90g，
∴重量为72g的信以“挂号信”方式寄出小于9元。
若重量为215g的信以“挂号信”方式寄出，则邮寄费为
(元)>9(元)，
，
∴重量为400g，340g的信以“挂号信”方式寄出，费用均超过9元。
因此，将这五封信的前两封以“挂号信”方式寄出，后三封以“特快专递”方式寄出最合算。
(3)生活中到处都有数学，数学是有用的，学好数学能方便于我们生活(只要合理就行)。
点评：新的课程标准更多地强调我们用数学知识解决生活中的问题，体验数学的生活化和生活的数学化。在数学学习中，我们只有充分挖掘受数学在生活的原形，才能真正地理解数学，感受我们生活的世界是一个充满数学的世界，从而更加热爱生活，热爱数学。
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