2012中考数学考点 应用不等式

应用不等式解决生活问题

山东省惠民县皂户李乡中学 康风星

　　一、进货方案设计型

　　例1、（2007南充）某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：

　　计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元．

　　（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）

　　（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）

　　解：（1）设商店购进电视机x台，则购进洗衣机（100－x）台，根据题意，得
　　　　　　  ，解不等式组，得　≤x≤．         
　　　　　　即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案．   
　　（2）设商店销售完毕后获利为y元，根据题意，得
　　　　　y＝（2000－1800）x＋(1600－1500)(100－x)＝100x＋10000．    
　　　　　∵　100＞0，∴　当x最大时，y的值最大．
　　　　　即　当x＝39时，商店获利最多为13900元

　　点评：本题是一道开方性的问题，不仅需要列一元一次不等式解决问题，而且要找出最佳解决方案。

　　二、租赁方案设计型：

　　例2、（2007四川绵阳）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．

　　（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？

　　（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？

　　解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8－x）辆，依题意，得

　　4x + 2（8－x）≥20，且x + 2（8－x）≥12，

　　解此不等式组，得 x≥2，且 x≤4， 即 2≤x≤4．

　　∵ x是正整数，∴ x可取的值为2，3，4．

　　因此安排甲、乙两种货车有三种方案：

　　（2）方案一所需运费 300×2 + 240×6 = 2040元；

　　方案二所需运费 300×3 + 240×5 = 2100元；

　　方案三所需运费 300×4 + 240×4 = 2160元．

　　所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．

　　点评：本题要列出不等式组，并要根据实际问题设计合理方案，注意方案最优化的选择。

　　三、购物方案设计型：

　　例3、（2007广东课改）某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）门票按7折优惠．甲班有56名学生，乙班有54名学生．

　　（1）若两班学生一起前往该博物馆参观，请问购买门票最少共需花费多少元？

　　（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要有多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜？

　　解：（1）当两个班分别购买门票时，甲班为56×10×0.8＝448（元）；乙班为54×10×0.8＝432（元）；所以两班分别购买门票共需花费880元．

　　当两个班一起购买门票时，甲、乙两班共（56＋54）×10×0.7＝770（元）．

　　（2）当多于30人且不足100人时，设有x人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜，根据题意，得，

　　解这个不等式组，得.  

　　所以，当多于30人且不足100人时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜.

　　四、生活娱乐问题型

　　例4、（2007福建厦门课改）小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为69千克，坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地．后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地．小宝的体重可能是（　　）

　　Ａ．千克             Ｂ．千克                     Ｃ．千克             Ｄ．千克

　　解:设小宝的体重是x千克，则妈妈的体重是2x千克.

　　由题意得,由此可以得出小宝的体重.

　　点评：本题较为新颖，只需列出不等式组即可获解。

　　温馨提示：以上几例可以看出，不等式应用题的取材广泛，内容丰富多彩，又紧密联系现实生活．解这类问题难点在于理清题意，寻找题目中的关键信息词，例如“不少于”、“不得超过”、“大于”、“小于”、“比……要节省”等，建立方程和不等式模型，从而解决实际问题.解答此类问题的关键是把实际问题与数学问题相联系，建立相应的数学模型.