圆锥曲线

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　　高考数学高频考点：圆锥曲线(4个)

　　1.求标准方程

　　2.求离心率

　　3.弦长

　　4.直线与圆锥曲线的位置关系

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2017年成人高考数学专项复习：圆锥曲线（二）

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2017年成人高考数学专项复习：圆锥曲线（一）

　　【数学圆锥曲线解题技巧】

　　1.客观题部分

　　例1 (新课标2·2015)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )。

　　A。5 B。2 C。3 D。2

　　解析 该题的核心知识点有两个：等腰三角形的性质;双曲线的标准方程和性质。①将双曲线方程设定为x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，如图;②因为AB=BM，∠ABM=120°，过点M作MN垂直于X轴，垂足为N，在Rt△BMN中，求得BN=a，MN=3a，M点的坐标为(2a，3a)，③根据双曲线方程、c2=a2+b2以及离心率e=ca(e>1)，可以求的c2=2a2，e=2，因此本题选D。本题涉及的基本思想方法是待定系数法。

　　2.主观题部分

　　首先，是数形结合的思想方法，这种思想方法特点在于将圆锥曲线从平面的角度视为一种运动中的轨迹，在此背景下，题目的考核目标往往是与轨迹相关的边缘域问题、定值问题、最值问题等。

　　例2 (山东·2015)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24a2+y24b2=1(a>b>0)的离心率为32，左、右焦点分别是F1和F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上。

　　(Ⅰ)求椭圆C的方程。

　　(Ⅱ)设椭圆E;x24a2+y24b2=1，p为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A和B两点，射线PO交椭圆E于点Q。

　　(ⅰ)求OQOP的值。

　　(ⅱ)求△ABQ面积的最大值。

　　解析 本题的核心知识点有：椭圆的定义;韦达定理与最值问题;椭圆与直线的位置关系问题。①根据椭圆的定义2a是定值，以及e=32，结合椭圆的标准方程求的a=2，b=1，因此椭圆的方程为C：x24+y2=1。②根据题意，设OQOP=λ，P(x0，y0)，则Q(-λx0，-λy0)。又x24a2+y24b2=1，所以将P和Q带入方程解得，λ=2，所以OQOP=2。③根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)。将y=kx+m带入方程x216+y24=1得到(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0，根据韦达定理，由Δ>0，m2<4+16k2(Ⅰ);x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-161+4k2，x1-x2=416k2+4-m21+4k2。因为直线y=kx+m与轴焦点的坐标为(0，m)，所以△ABO的面积为S=12mx1-x2=24-m21+4k2m21+4k2，令m21+4k2=t，由Δ≥0，可得m2≤1+4k2(Ⅱ)。由(Ⅰ)和(Ⅱ)可得，0　　与数形结合的思想方法相适应的题目类型有：圆锥曲线通过构造出的三角形关系，与直线、韦达定理、函数的最值问题等建立起逻辑关联，依靠代数法或几何法解题，其中涉及例如联立方程法、整体消元法等解题技巧，强化计算能力，助力高考。

　　其次，是化归、分类讨论以及函数与方程的思想方法，将这几种思想方法综合起来看，它主要强调考生...

　　高一数学《圆锥曲线中的最值问题》教学设计

　　一、内容与内容解析

　　圆锥曲线的单元复习的基础内容包括椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系,在掌握以上一些陈述性知识和程序性知识的基础上，再学习圆锥曲线的一些综合应用.

　　在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，而在变化中，往往重点关注变化中不变的量或关系，以及变量的变化趋势，由此产生圆锥曲线中的定点、定值问题，圆锥曲线的中的参数取值范围问题，圆锥曲线中的最值问题等.

　　圆锥曲线的最值问题是本单元复习综合性较强的内容.重点研究变化的距离、弦长、角度、面积、斜率、定比等几何量的最值及相关问题.本课重点是借助对常见的距离问题等的研究提炼出解决此类问题的思想方法和基本策略，并能进行简单的应用.

　　解决圆锥曲线的最值问题，不仅要用到圆锥曲线定义、方程、几何性质，还常用到函数、方程、不等式及三角函数等重要知识，综合性强，联系性广,策略性要求高.其基本的思想是函数思想和数形结合思想，基本策略主要是代数和几何两个角度分析. 由于圆锥曲线是几何图形，研究的量也往往是几何量，因此借助几何性质，利用几何直观来分析是优先选择;但几何直观往往严谨性不强，难以细致入微，在解析几何中需要借助代数的工具来实现突破.

　　几何方法主要结合图形的几何特征，借助圆锥曲线的定义以及平面几何知识作直接论证及判断;代数方法主要是将几何量及几何关系用代数形式表示,通过设动点坐标或动直线的方程，将目标表示为变量的函数，从而转化为函数的最值问题，再借助函数、方程、不等式等知识解决问题.

　　二、教学问题诊断

　　圆锥曲线的最值问题的解决，涉及的知识面广，需要综合运用圆锥曲线、平面几何、代数等相关知识，还需要较强的运算技能和分析问题解决问题的能力.

　　在本课的学习中，学生可能存在的问题有：知识的联系性和系统性较弱，难以调动众多的知识合理地解决问题;运算能力不强，算得慢，易算错，影响问题解决的执行力;问题解决的策略性不强，就题论题，对问题的数学本质认识模糊等现象.再加上学生对复习课的认识比较片面，对复习课缺乏新鲜感。

　　在教学中，可以从简单的问题(或者教材中的问题)出发，通过问题的提出、问题的拓展、问题的变式等措施，使学生对圆锥曲线最值问题的本质特征有更新、更深的认识，同时激发学生学习的积极性;在教学中，通过学生对一类问题的主动思考、交流互动、反思提炼，构建知识体系，形成基本技能，关注数学本质，体验与感悟问题解决的策略。

　　为了更好地加强策略性知识的学习，教学中可一题多用，减少问题解决的运算量,使学生在关键点加强思考与交流，有更多的时间进行创造性的实践与反思.

　　三、目标与目标解析：

　　1.进一步理解圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质，会求解椭圆、抛物线的相关变量的最值问题，并形成一定的方法;

　　2.进一步体会“解析法”思想，会从代数与几何两个角度分析和解决曲线的最值问题，并会进行合理的选择;

　　3.在问题的提出、分析、解决的过程...

　　高一数学《圆锥曲线问题的探究与发现》教案

　　一、问题导入，引发探究

　　师：我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具(如图)，所谓生活处处皆学问嘛，我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象：

　　两个全等的椭圆形卵，相互依偎旋转(动画)。你能通过所学解析几何知识，构造出这种有趣的现象吗?

　　二、实验探究，交流发现

　　探究1：卵之由来——椭圆的形成

　　(1) 单个定椭圆的形成

　　椭圆的定义：平面内到两定点 、 的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆。(即若平面内的动点 到两定点 、 的距离之和等于常数(大于 )，则点 的轨迹为以 、 为焦点的椭圆。)

　　思考1：如何使 为定值?

　　(不妨将两条线段的长度和转化为一条线段，即在线段 的延长线上取点 ，使得 ，此时， 为定值则可转化为 为定值。)

　　思考2：若 为定值，则 点的轨迹是什么?定点 与 点轨迹的位置关系?

　　(以定点 为圆心， 为半径的圆。由于 > ，则点 在圆内。)

　　思考3：如何确定点 的位置，使得 ，且 ?

　　(线段 的中垂线与线段 的交点为点 。)

　　揭示思路来源：(高中数学选修2-1 P49 7) 如图，圆 的半径为定长 ， 是圆 内一个定点， 是圆上任意一点，线段 的垂直平分线l和半径 相交于点 ，当点 在圆上运动时，点 的轨迹是什么?为什么?

　　(设圆 的半径为 ，由椭圆定义， (常数)，且 ，所以当点 在圆周上运动时，点 的轨迹是以 为焦点的椭圆。)

　　图形计算器作图验证：以圆 与定点 所在直线为 轴， 中垂线为 轴建立直角坐标系，设圆半径 ， ，即圆 ，点 ，则 点轨迹是以以 为焦点的椭圆，椭圆方程 为 。

　　(2) 单个动椭圆的形成

　　思考4：构造一种动椭圆的方式

　　(由于椭圆形状不变，即离心率不变，而长轴长 为定值，则 也要为定值，因此可将圆内点 取在圆 的同心圆 上，当点 在圆 上动时，即可得到动椭圆。)

　　图形计算器作图验证：当圆内动点 取在圆 的同心圆 上，运动点 ，即得到动椭圆。

　　(3) 两个椭圆的形成

　　观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面，分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴 对称，且直线 过两椭圆公共点，所以直线 为两椭圆的公切线。

　　因而找到公切线 ，作椭圆 关于切线 的对称椭圆 即可。

　　探究2：卵之所依——切线的判断与证明

　　线段 的垂直平分线 与椭圆的位置关系

　　(1) 利用图形计算器中的“图象分析”工具直观判断 与椭圆的位置关系.设圆 上动点 ，则线段 的中垂线 的方程为 ，将动点 的横坐标保存为变量 ，纵坐标保存为变量 ，随着 点的改变，在Graphs中画出相应的动直线 .用图形计算器中的“图象分析”工具找出椭圆所在区域内的直线 与椭圆的交点，拖动点 ，动态观测交点个数的变化，发现无论点 在何处，...