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高一数学《圆锥曲线问题的探究与发现》教案

高一数学教案 圆锥曲线问题的探究与发现教案

  高一数学《圆锥曲线问题的探究与发现》教案

  一、问题导入,引发探究

  师:我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具(如图),所谓生活处处皆学问嘛,我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象:

  两个全等的椭圆形卵,相互依偎旋转(动画)。你能通过所学解析几何知识,构造出这种有趣的现象吗?

  二、实验探究,交流发现

  探究1:卵之由来——椭圆的形成

  (1) 单个定椭圆的形成

  椭圆的定义:平面内到两定点 、 的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆。(即若平面内的动点 到两定点 、 的距离之和等于常数(大于 ),则点 的轨迹为以 、 为焦点的椭圆。)

  思考1:如何使 为定值?

  (不妨将两条线段的长度和转化为一条线段,即在线段 的延长线上取点 ,使得 ,此时, 为定值则可转化为 为定值。)

  思考2:若 为定值,则 点的轨迹是什么?定点 与 点轨迹的位置关系?

  (以定点 为圆心, 为半径的圆。由于 > ,则点 在圆内。)

  思考3:如何确定点 的位置,使得 ,且 ?

  (线段 的中垂线与线段 的交点为点 。)

  揭示思路来源:(高中数学选修2-1 P49 7) 如图,圆 的半径为定长 , 是圆 内一个定点, 是圆上任意一点,线段 的垂直平分线l和半径 相交于点 ,当点 在圆上运动时,点 的轨迹是什么?为什么?

  (设圆 的半径为 ,由椭圆定义, (常数),且 ,所以当点 在圆周上运动时,点 的轨迹是以 为焦点的椭圆。)

  图形计算器作图验证:以圆 与定点 所在直线为 轴, 中垂线为 轴建立直角坐标系,设圆半径 , ,即圆 ,点 ,则 点轨迹是以以 为焦点的椭圆,椭圆方程 为 。

  (2) 单个动椭圆的形成

  思考4:构造一种动椭圆的方式

  (由于椭圆形状不变,即离心率不变,而长轴长 为定值,则 也要为定值,因此可将圆内点 取在圆 的同心圆 上,当点 在圆 上动时,即可得到动椭圆。)

  图形计算器作图验证:当圆内动点 取在圆 的同心圆 上,运动点 ,即得到动椭圆。

  (3) 两个椭圆的形成

  观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面,分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴 对称,且直线 过两椭圆公共点,所以直线 为两椭圆的公切线。

  因而找到公切线 ,作椭圆 关于切线 的对称椭圆 即可。

  探究2:卵之所依——切线的判断与证明

  线段 的垂直平分线 与椭圆的位置关系

  (1) 利用图形计算器中的“图象分析”工具直观判断 与椭圆的位置关系.设圆 上动点 ,则线段 的中垂线 的方程为 ,将动点 的横坐标保存为变量 ,纵坐标保存为变量 ,随着 点的改变,在Graphs中画出相应的动直线 .用图形计算器中的“图象分析”工具找出椭圆所在区域内的直线 与椭圆的交点,拖动点 ,动态观测交点个数的变化,发现无论点 在何处,...

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