数列前n项和公式

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    2022等差数列前n项和公式（详解）

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    　　有的数学公式算法还是比较复杂的，很多公式求和之类的，也不是一步两步就可以算出结果的哦，出国留学网的小编今天就带你们去了解一下这个等差数列前n项和公式方法有哪些。

    　　等差数列前n项和公式方法有哪些

    　　1、用倒序相加法求数列的前n项和。

    　　如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

    　　2、用公式法求数列的前n项和(等差数列公式求和公式：Sn=n(a1+an)/2或Sn=na1+n(n-1)d/2)。

    　　对等差数列，求前n项和Sn可直接用等差数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

    　　3、用裂项相消法求数列的前n项和。

    　　裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

    　　4、用构造法求数列的前n项和。

    　　所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。

    　　什么是等差数列

    　　等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

    　　例如：1,3,5,7,9……2n-1。通项公式为：an=a1+(n-1)*d。首项a1=1，公差d=2。前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。注意：以上n均属于正整数。

    　　等差数列前n项和公式方法有哪些?什么是等差数列?出国留学网的小编今天就先和你们普及到这里了哦，更多相关的数学公式我们下期再分享。

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    　　等比数列是数学中一个重要的知识点，那么你知道等比数列的求和公式及其推导过程吗?下面是由出国留学网编辑为大家整理的“等比数列前n项和公式推导过程(实用)”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

    　　等比数列前n项和公式

    1

    　　公式中a1为数列首项，q为等比数列的公比，Sn为前n项和。

    　　等比数列前n项和公式推导过程

    　　等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

    　　推导如下：

    　　因为an=a1q^(n-1)

    　　所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)

    　　qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)

    　　(1)-(2)注意(1)式的第一项不变。

    　　把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。

    　　把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。

    　　以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。

    　　(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

    　　于是得到

    　　(1-q)Sn=a1(1-q^n)

    　　即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

    　　拓展阅读：等比数列的性质

    　　①在等比数列{an}{an}中，若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N∗)m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N∗)，则am⋅an=ap⋅aq=a2kam⋅an=ap⋅aq=ak2；

    　　②若数列{an}{an}，{bn}{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0){λan}(λ≠0)，{1an}{1an}，{a2n}{an2}，{an⋅bn}{an⋅bn}，{anbn}{anbn}仍然是等比数列;

    　　③在等比数列{an}{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an+k，an+2k，an+3k，⋯an，an+k，an+2k，an+3k，⋯为等比数列，公比为qkqk;

    　　④q≠1q≠1的等比数列的前2n2n项，S偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2S偶=a2⋅[1−(q2)n]1−q2，S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2S奇=a1⋅[1−(q2)n]1−q2，则S偶S奇=qS偶S奇=q;

    　　⑤等比数列的单调性，取决于两个参数a1a1和qq的取值，an=a1⋅qn−1an=a1⋅qn−1。

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    　　等差数列是数学中一个很重要的知识点，也是一个十分常见的考点。下面是由出国留学网编辑为大家整理的“等差数列前n项和公式推导”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

    　　等差数列求和公式

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    推导过程

    　　(1)从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

    　　(2)从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。

    　　(3)若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。若m+n=2p，则a(m)+a(n)=2*a(p)。

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    　　等差数列前n项和公式推导是怎样的呢?感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。下面是由出国留学网小编为大家整理的“等差数列前n项和公式推导”，仅供参考，欢迎大家阅读。

    　　等差数列前n项和公式推导

    　　1.Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成

    　　Sn=an+an-1+......a2+a1

    　　两式相加得：

    　　2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

    　　=n(a1+an)

    　　所以Sn=[n(a1+an)]/2。

    　　2.如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，

    　　则 an=a1+(n-1)d代入公式公式一得，

    　　Sn=na1+ [n(n+1)d]/2。

    　　拓展阅读：等差数列性质

    　　1.数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S可以写成S=an^2+bn的形式(其中a、b为常数)。

    　　2.在等差数列中，当项数为2n(n∈N+)时，S偶-S奇=nd，S奇÷S偶=an÷a(n+1);当项数为(2n-1)(n∈N+)时，S奇—S偶=a(中)，S奇-S偶=项数*a(中)，S奇÷S偶=n÷(n-1)。

    　　3.若数列为等差数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍然成等差数列，公差为k^2d。

    　　4.若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则am/bm=S2m-1/T2m-1。

    　　5.在等差数列中，S=a，S=b(n>m)，则S=(a-b)。

    　　6.等差数列中，是n的一次函数，且点(n，)均在直线y=x+(a-)上。

    　　7.记等差数列的前n项和为S.①若a>0，公差d<0，则当a≥0且an+1≤0时，S最大;②若a<0，公差d>0，则当a≤0且an+1≥0时，S最小。

    　　8.若等差数列S(p)=q，S(q)=p，则S(p+q)=-(p+q)。

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    等比数列前n项和公式怎么求

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    　　等比数列是高中数学重点知识之一，那么等比数列前n项和公式怎么求呢?下面是由出国留学网小编为大家整理的“等比数列前n项和公式怎么求”，仅供参考，欢迎大家阅读。

    　　等比数列前n项和公式怎么求

    　　等比数列前n项和公式：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

    　　推导如下：

    　　因为an=a1q^(n-1)

    　　所以Sn=a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)(1)

    　　qSn=a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n(2)

    　　(1)-(2)注意(1)式的第一项不变。

    　　把(1)式的第二项减去(2)式的第一项。

    　　把(1)式的第三项减去(2)式的第二项。

    　　以此类推,把(1)式的第n项减去(2)式的第n-1项。

    　　(2)式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

    　　于是得到

    　　(1-q)Sn=a1(1-q^n)

    　　即Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。

    　　拓展阅读：等比数列的概念

    　　(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.

    　　数学语言表达式：=q(n≥2，q为非零常数).

    　　(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G=±。

    　　2.等比数列的通项公式及前n项和公式

    　　(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an=a1qn-1;

    　　通项公式的推广：an=amqn-m.

    　　(2)等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1;当q≠1时，Sn==。

    　　3.等比数列的性质

    　　已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.

    　　(1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al=am·an。

    　　(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，

    　　ak+m，ak+2m，…仍是等比数列，公比为qm。

    　　(3)当q≠-1，或q=-1且n为奇数时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍成等比数列，其公比为qn。

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