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空间中点到直线的距离怎么求

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空间中点到直线的距离怎么求

  点P(x0,y0,z0)到直线{A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 距离的一个公式:d=|(A1x0+B1y0+C1z0+D1)n→2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n→1||n→1×n→2|其中n→i={Ai,Bi,Ci},(i=1,2)

  证明方法:根据定义,点P(x₀,y₀)到直线l:Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长,

  设点P到直线的垂线为l',垂足为Q,则l'的斜率为B/A

  则l'的解析式为y-y₀=(B/A)(x-x₀)

  把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2), (A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2))

  由两点间距离公式得:

  PQ^2=[(B^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2+[(A^2y₀-ABx₀-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2

  =[(-A^2x₀-ABy₀-AC)/(A^2+B^2)]^2+[(-ABx₀-B^2y₀-BC)/(A^2+B^2)]^2

  =[A(-By₀-C-Ax₀)/(A^2+B^2)]^2+[B(-Ax₀-C-By₀)/(A^2+B^2)]^2

  =A^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2+B^2(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

  =(A^2+B^2)(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)^2

  =(Ax₀+By₀+C)^2/(A^2+B^2)

  所以PQ=|Ax₀+By₀+C|/√(A^2+B^2),公式得证。

  拓展阅读:点到直线距离公式

  总公式

  设直线L的方程为Ax+By+C=0,点P的坐标为(Xo,Yo),则点P到直线L的距离为:|AXo+BYo+C|/√(A²+B²)。

  考虑点(x0,y0,z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n,有d=|(x1-x0,y1-y0,z1-z0)×(l,m,n)|/√(l²+m²+n²)

  引申公式

  公式①:设直线l1的方程为Ax+By+C1=0;直线l2的方程为Ax+By+C2=0。

点到直线距离公式

  两直线位置关系

  直线L1:A1x+B1y+C1=0与直线L2:A2x+B2y+C2=0

  1.当A1B2-...

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