立方差公式及其推导

　　立方差公式及其推导有哪些呢？感兴趣的小伙伴和小编一起看看吧。下面是由出国留学网小编为大家整理的“立方差公式及其推导有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　立方差公式及其推导

　　立方差公式也是数学中常用公式之一，在高中数学中接触该公式，且在数学研究中该式占有很重要的地位，甚至在高等数学、微积分中也经常用到。两个数的立方差，可以分解为一次多项式和二次多项式的乘积。

　　因式分解思想推导

　　a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3-a^2×b

　　=a^2（a+b）-b（a^2-b^2）=a^2（a+b）-b（a+b）（a-b）

　　=（a+b）[a^2-b（a-b）]=（a+b）（a^2-ab+b^2）

　　从正面推导的话，可以选用添加项的方法，

　　如

　　a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²（a+b）-b（a²-b²）=a²（a+b）-b（a+b）（a-b）

　　=（a+b）[a²-b（a-b）]=（a+b）（a²-ab+b²）

　　a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²（a-b）+b（a²-b²）=a²（a-b）+b（a+b）（a-b）

　　=（a-b）[a²+b（a+b）]=（a-b）（a²+ab+b²）

　　迭代法

　　我们知道：

　　0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n

　　1次方和的求和公式ΣN^1=N（N+1）/2 即1^1+2^1+...+n^1=n（n+1）/2

　　2次方和的求和公式ΣN^2=N（N+1）（2N+1）/6 即1^2+2^2+…+n^2=n（n+1）（2n+1）/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式（x+1）^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。

　　取公式：（X+1）^4-X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1

　　系数可由杨辉三角形来确定，

　　那么就得出：

　　（N+1）^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1…………⑴

　　N^4-（N-1）^4=4（N-1）^3+6（N-1）^2+4（N-1）+1…………⑵

　　（N-1）^4-（N-2）^4=4（N-2）^3+6（N-2）^2+4（N-2）+1…………⑶

　　…………

　　2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1…………（n）

　　于是⑴+⑵+⑶+……+（n）有

　　左边=（N+1）^4-1

　　右边=4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N）+N

　　所以：

　　把以上这已经证得的三个公式代入，

　　4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N）+N=（N+1）^4-1

　　得4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+N（N+1）（2N+1）+2N（N+1）+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

　　移项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 （N...