高一数学《圆锥曲线问题的探究与发现》教案
一、问题导入，引发探究
师：我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具(如图)，所谓生活处处皆学问嘛，我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象：
两个全等的椭圆形卵，相互依偎旋转(动画)。你能通过所学解析几何知识，构造出这种有趣的现象吗?
二、实验探究，交流发现
探究1：卵之由来——椭圆的形成
(1) 单个定椭圆的形成
椭圆的定义：平面内到两定点 、 的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆。(即若平面内的动点 到两定点 、 的距离之和等于常数(大于 )，则点 的轨迹为以 、 为焦点的椭圆。)
思考1：如何使 为定值?
(不妨将两条线段的长度和转化为一条线段，即在线段 的延长线上取点 ，使得 ，此时， 为定值则可转化为 为定值。)
思考2：若 为定值，则 点的轨迹是什么?定点 与 点轨迹的位置关系?
(以定点 为圆心， 为半径的圆。由于 > ，则点 在圆内。)
思考3：如何确定点 的位置，使得 ，且 ?
(线段 的中垂线与线段 的交点为点 。)
揭示思路来源：(高中数学选修2-1 P49 7) 如图，圆 的半径为定长 ， 是圆 内一个定点， 是圆上任意一点，线段 的垂直平分线l和半径 相交于点 ，当点 在圆上运动时，点 的轨迹是什么?为什么?
(设圆 的半径为 ，由椭圆定义， (常数)，且 ，所以当点 在圆周上运动时，点 的轨迹是以 为焦点的椭圆。)
图形计算器作图验证：以圆 与定点 所在直线为 轴， 中垂线为 轴建立直角坐标系，设圆半径 ， ，即圆 ，点 ，则 点轨迹是以以 为焦点的椭圆，椭圆方程 为 。
(2) 单个动椭圆的形成
思考4：构造一种动椭圆的方式
(由于椭圆形状不变，即离心率不变，而长轴长 为定值，则 也要为定值，因此可将圆内点 取在圆 的同心圆 上，当点 在圆 上动时，即可得到动椭圆。)
图形计算器作图验证：当圆内动点 取在圆 的同心圆 上，运动点 ，即得到动椭圆。
(3) 两个椭圆的形成
观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面，分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴 对称，且直线 过两椭圆公共点，所以直线 为两椭圆的公切线。
因而找到公切线 ，作椭圆 关于切线 的对称椭圆 即可。
探究2：卵之所依——切线的判断与证明
线段 的垂直平分线 与椭圆的位置关系
(1) 利用图形计算器中的“图象分析”工具直观判断 与椭圆的位置关系.设圆 上动点 ，则线段 的中垂线 的方程为 ，将动点 的横坐标保存为变量 ，纵坐标保存为变量 ，随着 点的改变，在Graphs中画出相应的动直线 .用图形计算器中的“图象分析”工具找出椭圆所在区域内的直线 与椭圆的交点，拖动点 ，动态观测交点个数的变化，发现无论点 在何处，...