2015襄阳高考一模数学文试题及答案

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机密★启用前
2015年高考襄阳市普通高中第一次调研统一测试
数 学(文史类)
命题人：襄阳市教研室　郭仁俊　　审定人：襄阳三中　陈显宏 襄阳四中　陈　琰襄阳五中　段仁保　　　　        .
本试卷共4页，共22题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答卷前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好条形码或将考号对应数字涂黑。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考生必须保持答题卡的清洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1. 集合A = {x x2－2x≤0}，B = {x  }，则A∩B等于
A．{x 0 < x≤1} B．{x 1≤x < 2} C．{x  1 < x≤2} D．{x 0≤x < 1}
2. 直线 与直线 平行，则m =
 A．－2 B．－3 C．2或－3 D．－2或－3
3. 已知x、y满足不等式组 ，则z = x－y的最大值是
A．6  B．4 C．0  D．－2
4. 等差数列{an}中，a5 + a6 = 4，则
A．10 B．20 C．40 D．
5. 已知圆M的方程为 ，则下列说法中不正确的是
 A．圆M的圆心为(4，－3) B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．圆M的半径为25  D．圆M被y轴截得的弦长为6

6. 已知双曲线 的离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为
A．   B．
 C．   D．
7. 若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体外接球的表面积是
A．6 B．
C．2  D．3
8. 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1 = 5.06x－0.15x2和L2 = 2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为
 A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元
9. 设f (x)为奇函数且在(－∞，0)内是增函数，f (－2) = 0，则xf (x) > 0的解集为
A．(－∞，－2)∪(2，+∞) B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－2，0)∪(2，+∞)  D．(－2，0)∪(0，2)
10. 若a、b是方程 、 的解，函数 ，则关于x的方程f (x) = x的解的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分。将答案填在答题卡相应位置上。)
11. 已知幂函数y = f (x)图象过点(2， )，则f (9) = 　▲　．
12. 已知 ，则 　▲　．
13. 已知定义在R上的可导函数y = f (x)的图象在点M(1，f (1))处的切线方程为y =－x + 2，则  　▲　．
14. 已知两个单位向量a、b的夹角为60°，且满足a⊥(tb－a)，则实数t的值是　▲　．
15. 已知x >－1，y > 0且满足x + 2y = 1，则 的最小值为　▲　．
16. 已知数列 ，则数列{an}最小项是第　▲　项．
17. 若函数y = f (x)在定义域内给定区间[a，b]上存在x0 (a < x0 < b)，满足 ，则称函数y = f (x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y = | x |是[－2，2]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．
(1)若函数 是[－1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是　▲　．
(2)若 是区间[a，b] (b > a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则 的大小关系是　▲　．
三．解答题(本大题共5小题，满分65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
18.  (本大题满分12分)
定义在区间 上的函数y = f (x)的图象关于直线 对称，当 时函数 图象如图所示．
(1)求函数y = f (x)在 的表达式；
(2)设 ，若 ，求 的值．

19. (本大题满分12分)
数列{an}中，已知a1 = 1，n≥2时， ．数列{bn}满足： ．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn．

20. (本大题满分13分)．
如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD， ，AA1 = 2．
(1)证明：AA1⊥BD；
(2)证明: 平面A1BD∥平面CD1B1 ；
(3)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．

21. (本大题满分14分)
已知函数 ， ．
(1)当a = 1，b = 2时，求函数y = f (x)－g (x)的图象在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若2a = 1－b(b > 1)，讨论函数y = f (x)－g (x)的单调性；
(3)若对任意的b∈[－2，－1]，均存在x∈(1，e)使得f (x) < g (x)，求实数a的取值范围．

22. (本大题满分14分)
己知曲线 与x轴交于A、B两点，动点P与A、B连线的斜率之积为 ．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2) MN是动点P的轨迹C的一条弦，且直线OM、ON的斜率之积为 ．
①求 的最大值；
②求△OMN的面积．

2015年1月襄阳市普通高中调研统一测试
数学(文史类)参考答案及评分标准
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。
一．选择题：DCABC  CDBAC
二．填空题：11．3　　12．1　　13．0　　14．2　　15． 　　16．5
　　　　　　17．(1) (0，2)　2分 (2) 　3分
三．解答题：
18．(1)解：当 时，由图象知：A = 2， 
∴ ，故  2分
又 过 ，∴
∴  4分
∵函数y = f (x)的图象关于直线 对称，∴  6分
当 时， ，∴ 
∴   8分
(2)解：∵ ，∴由 得：
因此，  10分
 
　　　　　 ． 12分
19．(1)证：由 得：  2分
∴
即  4分
又
∴数列{bn}是首项为2，公差为2的等差数列． 6分
(2)解：由(1)知， ，∴  8分
记 ，则
两式相减得：  10分
　　　　　　　　
∴
因此，  12分
20．(1)证：∵A1O⊥平面ABCD，BD在平面ABCD内，∴A1O⊥BD 1分
又ABCD是正方形，∴BD⊥AC 2分
∵A1O、AC在平面A1AC内，∴BD⊥平面A1AC 3分
而AA1在平面A1AC内，∴AA1⊥BD． 4分
(2)证：∵在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DD1∥BB1且DD1 = BB1
∴四边形BB1D1D是平行四边形，故BD∥B1D1 5分
又在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC且A1D1 = BC 6分
∴四边形A1BCD1是平行四边形，故A1B∥D1C 7分
而A1B、BD是平面A1BD内的相交直线，D1C、B1D1是平面CD1B1内的相交直线
∴平面A1BD∥平面CD1B1 8分
(3)解：在正方形ABCD中， ，∴  9分
又A1O⊥平面ABCD，AC在平面ABCD内，∴A1O⊥AC 10分
故  12分
∴  13分
21．(1)解：令 ，则  1分
当a = 1，b = 2时， ，   2分
∴函数y = f (x)－g (x)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y－3 = 3(x－1)
即3x－y = 0 3分 
(2)解：  5分
当 ，即b > 2时，F(x)的增区间为 ，减区间为   6分
当 ，即b = 2时，F(x)在(0，+∞)单调递减 7分
当 ，即b < 2时，F(x)的增区间为 ，减区间为(0，1)，  8分
(3)解：依题意， b∈[－2，－1]，x∈(1，e)使得f (x) < g (x)成立
即 b∈[－2，－1]，x∈(1，e)，F(x) < 0成立 9分
即 b∈[－2，－1]， 在(1，e)内有解，  10分
令 ，则   11分
∵b∈[－2，－1]，x∈(1，e)，∴-2x + 1≤bx + 1≤－x + 1 < 0，－2ln x < 0
因此 ，∴G(x)在(1，e)内单调递减 12分
又G(1) =－b，∴G(x)max =－b∈[1，2] 13分
∴a≤1，即实数a的取值范围是(－∞，1]． 14分
22．(1)解：在方程 中令y = 0得：
∴A( ，0)，B( ，0) 2分
设P(x，y)，则
整理得：
∴动点P的轨迹C的方程为  4分
(2)解：设直线MN的方程为：y = kx + m，M(x1，y1)，N(x2，y2)
由  得：   5分
∴
   6分
∵  ，∴
即  7分
   8分
∴   9分
当直线MN的斜率不存在时，设M(x1，y1)，则N(x1，－y1)
则  10分
又 ，∴ 
 
∴ 的最大值为2 12分
 
当直线MN的斜率不存在时， 
∴△OMN的面积为 ．  14分
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