分式运算的技巧
【精练】计算:
【分析】本题中有四个分式相加减,如果采用直接通分化成同分母的分式相加减,公分母比较复杂,其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加,其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.
【解】=
=
=
【知识大串联】
1.分式的有关概念
设A、B表示两个整式.如果B中含有字母,式子就叫做分式.注意分母B的值不能为零,否则分式没有意义
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式,要进行约分化简
2、分式的基本性质
(M为不等于零的整式)
3.分式的运算
(分式的运算法则与分数的运算法则类似).
(异分母相加,先通分);
4.零指数
5.负整数指数
注意正整数幂的运算性质
可以推广到整数指数幂,也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数.
分式是初中代数的重点内容之一,其运算综合性强,技巧性大,如果方法选取不当,不仅使解题过程复杂化,而且出错率高.下面通过例子来说明分式运算中的种种策略,供同学们学习参考.
1.顺次相加法
例1:计算:
【分析】本题的解法与例1完全一样.
【解】=
=
=
2.整体通分法
【例2】计算:
【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把(-a-1)看作一个整体,并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.
【解】
==.3.化简后通分
分析:直接通分,极其繁琐,不过,各个分式并非最简分式,有化简的余地,显然,化简后再通分计算会方便许多.
4.巧用拆项法
例4计算:.
分析:本题的10个分式相加,无法通分,而式子的特点是:每个分式的分母都是两个连续整数的积(若a是整数),联想到,这样可抵消一些项.
解:原式=
=
==
5.分组运算法
例5:计算:
分析:本题项数较多,分母不相同.因此,在进行加减时,可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系,这样才能使运算简便.
解:
=
=
=
=
=
【错题警示】
一、错用分式的基本性质
例1 化简
错解:原式
分析:分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变”,而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式的基本性质.
正解:原式
二、错在颠倒运算顺序
例2 计算
错解:原式
分析:乘除是同一级运算,除在前应先做除,上述错解颠倒了运算顺序,致使结果出现错误.
正解:原式
三、错在约分
例1 当为何值时,分式有意义?
[错解]原式.
由得.
∴时,分式有意义.
[解析]上述解法错在约分这一步,由于约去了分子、分母的公因式,扩大了未知数的取值范围,而导致错误.
[正解]由得且
.∴当且,分式有意义.
四、错在以偏概全
例2 为何值时,分式有意义?
[错解]当,得.
∴当,原分式有意义.
[解析]上述解法中只考虑的分母,没有注意整个分母,犯了以偏概全的错误.
[正解]
,得,由,得.
∴当且时,原分式有意义.
五、错在计算去分母
例3 计算.
[错解]原式
=.
[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了,分式计算是等值代换,不能去分母,.
[正解]原式
.
六、错在只考虑分子没有顾及分母
例4 当为何值时,分式的值为零.
[错解]由,得.
∴当
或时,原分式的值为零.[解析]当时,分式的分母,分式无意义,谈不上有值存在,出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.
[正解]由由,得.
由,得且.
∴当时,原分式的值为零.
七、错在“且”与“或”的用法
例7 为何值时,分式
有意义错解:要使分式有意义,须满足,即.
由得,或由得
.当或时原分式有意义.
分析:上述解法由得或
是错误的.因为与中的一个式子成立并不能保证一定成立,只有与同时成立,才能保证一定成立.故本题的正确答案是且.
八、错在忽视特殊情况
例8 解关于的方程.
错解:方程两边同时乘以,得
,即.当时,,
当时,原方程无解.
分析:当时,原方程变为
取任何值都不能满足这个方程,错解只注意了对的讨论,而忽视了的特殊情况的讨论.正解:方程两边同时乘以,得,即
当且时,,当或时,原方程无解.
【分析】本题中有四个分式相加减,如果采用直接通分化成同分母的分式相加减,公分母比较复杂,其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加,其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.
【解】=
=
=
【知识大串联】
1.分式的有关概念
设A、B表示两个整式.如果B中含有字母,式子就叫做分式.注意分母B的值不能为零,否则分式没有意义
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式,要进行约分化简
2、分式的基本性质
(M为不等于零的整式)
3.分式的运算
(分式的运算法则与分数的运算法则类似).
(异分母相加,先通分);
4.零指数
5.负整数指数
注意正整数幂的运算性质
可以推广到整数指数幂,也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数.
分式是初中代数的重点内容之一,其运算综合性强,技巧性大,如果方法选取不当,不仅使解题过程复杂化,而且出错率高.下面通过例子来说明分式运算中的种种策略,供同学们学习参考.
1.顺次相加法
例1:计算:
【分析】本题的解法与例1完全一样.
【解】=
=
=
2.整体通分法
【例2】计算:
【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把(-a-1)看作一个整体,并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.
【解】=
=.3.化简后通分
分析:直接通分,极其繁琐,不过,各个分式并非最简分式,有化简的余地,显然,化简后再通分计算会方便许多.
4.巧用拆项法
例4计算:.
分析:本题的10个分式相加,无法通分,而式子的特点是:每个分式的分母都是两个连续整数的积(若a是整数),联想到,这样可抵消一些项.
解:原式
==
==
5.分组运算法
例5:计算:
分析:本题项数较多,分母不相同.因此,在进行加减时,可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系,这样才能使运算简便.
解:
=
=
=
=
=
【错题警示】
一、错用分式的基本性质
例1 化简
错解:原式
分析:分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变”,而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式的基本性质.
正解:原式
二、错在颠倒运算顺序
例2 计算
错解:原式
分析:乘除是同一级运算,除在前应先做除,上述错解颠倒了运算顺序,致使结果出现错误.
正解:原式
三、错在约分例1 当为何值时,分式有意义?
[错解]原式.
由得.
∴时,分式
有意义.[解析]上述解法错在约分这一步,由于约去了分子、分母的公因式,扩大了未知数的取值范围,而导致错误.
[正解]由得
且.∴当且
,分式有意义.四、错在以偏概全
例2 为何值时,分式
有意义?[错解]当,得.
∴当,原分式有意义.
[解析]上述解法中只考虑的分母,没有注意整个分母,犯了以偏概全的错误.
[正解] ,得,
由,得
.∴当且时,原分式有意义.
五、错在计算去分母
例3 计算.
[错解]原式
=.
[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了,分式计算是等值代换,不能去分母,.
[正解]原式
.
六、错在只考虑分子没有顾及分母
例4 当为何值时,分式的值为零.
[错解]由,得
.∴当或时,原分式的值为零.
[解析]当时,分式的分母,分式无意义,谈不上有值存在,出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.
[正解]由由,得
.由,得且
.∴当时,原分式的值为零.
七、错在“且”与“或”的用法
例7 为何值时,分式
有意义错解:要使分式有意义,须满足,即
.由得,或由
得.当
或时原分式有意义.分析:上述解法由得
或是错误的.因为与中的一个式子成立并不能保证一定成立,只有与同时成立,才能保证一定成立.故本题的正确答案是且
.八、错在忽视特殊情况
例8 解关于的方程
.错解:方程两边同时乘以,得,即
.当时,,
当时,原方程无解.
分析:当时,原方程变为取任何值都不能满足这个方程,错解只注意了对
的讨论,而忽视了的特殊情况的讨论.正解:方程两边同时乘以,得
,即当且时,
,当或时,原方程无解.中考政策 | 中考状元 | 中考饮食 | 中考备考辅导 | 中考复习资料 |