有理数中的分类讨论思想
湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬
在有理数的概念和运算中，因为“相反数到原点的距离相等”、“在数轴上两点间的距离即这两数差的绝对值”、“相反数的绝对值、偶次方相等”等相关性质，以及用字母代替数的代数方法，可能会使有理数的相关运算出现答案的不唯一性，要求我们建立分类讨论的思想。
一、相反数、绝对值在数轴上的意义（几何意义）
例1 在数轴上，与表示－２的点相距５个单位长度的点表示的数是 。
分析：在数轴上与表示－２的点相距５个单位长度的点，可以在表示－２的点的左边为－７，也可以在表示－２的点的右边为３。故符合题意的数有－７或３。
例２ 已知数轴上的A点到原点的距离是2，那么在数轴上到A点的距离是3的点所表示的数有 。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
分析：A点到原点的距离是2， 即
，由“相反数的绝对值相等”可知，a=±2。设到A点的距离是3的点所表示的数为x，根据绝对值的几何意义，即有
， ∴x－2=±3或x+2=±3 ∴x=5或－１或１或－５ 故选（Ｄ）。
也可以这样分析：Ａ点到原点的距离是２，Ａ点可能在原点的左边，也可能在原点的右边，有两种情况；到Ａ点距离是３的点又可能在Ａ的左边或右边，有两种可能。故共有４种符合条件的情况。
二、相反数的绝对值、偶次幂相等
例3已知
。求a+b的值。
分析：由“相反数的绝对值相等”，
，a=±8；
，b=±6。a、b的取值有4种情况：⑴a=8，b=6时，a+b=8+6=14；⑵a=8，b=－6时，a+b=8+（－6）=2；⑶a=－８，ｂ＝６时，ａ+ｂ＝－８+６＝－２；⑷ａ＝－８，ｂ＝－６时，ａ+ｂ＝－８+（－６）＝－１４。
例4已知
，（y+2）
=4，求x+y的值。
分析：由“相反数的绝对值、偶次幂相等”，有x+1=±4，故x=3或－5；y+2=±2，故y=0或－4。X、y的取值应分4种情况讨论：⑴x=3，y=2；⑵x=3，y=－２；⑶ｘ＝－３，ｙ＝２；⑷ｘ＝－３，ｙ＝－２。分别求出ｘ+ｙ的值。
三、有理数中的符号（正、负）
例5比较
与
的大小
分析：根据绝对值法则，去掉绝对值符号，要先判断绝对值符号中式子的正负，即“先判后去”的原则。当式子中有字母时，需讨论字母的取值条件不同，所得结果也不同。本题中可分3种情况讨论：⑴a、b同号，=；⑵a、b异号，＞
；⑶a、b中至少一个为0时，=。
此外还有绝对值化简中的0点分段讨论法，倒数中的分段讨论大小等问题，都需要有分类讨论思想。
分类讨论思想是数学中的一种重要思想方法，在今后的学习中还会大量遇到。分类讨论思想，就是要我们在思考数学问题时，应充分注意思考的全面性及结果的多样性，体现着数学的严谨和周密。大家可以在今后的学习中逐渐去认识和体会。
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