剩余定理

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行测数量关系考点：剩余定理

　　《孙子算经》是我国古代重要的数学著作。书中有这样的叙述：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?”这是我们已经学习过的鸡兔同笼问题，相信大家已经能够轻而易举的解决了。今天就带领大家再来看看书中另一段记载，其卷中第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?答曰：‘二十三’”。《孙子算经》中不但提供了答案，而且还给出了解法。那么，今天就带着这个疑问，来学习感受一下古人的智慧。

　　一、中国剩余定理之由来

　　有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何?即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因涉及到余数问题，所以将其称为中国剩余定理，也称为孙子定理。

　　二、解题思路之探索

　　设这个整数为X，则有列式X÷3=Y………2(1)，X÷5=M………3(2)，X÷7=N………2(3)，观察三个列式，我们发现同一个整数，除以不同的数字，余数有两式都为2。因此，我们结合1与3式可以得出，如果没有余数，也就是可以先将这个整数加了2就可以整除3与7，则可以写成通式X=21n+2。同时，这个整数满足2式，当n为1时，X=23，除以5余数为3，所以，同理最终这个整数X是23的整数倍数字即可，则符合题意最小的整数值为23。

　　到此，我们就把这道题目解决了，中国剩余定理就是求解同余式组的方法解题。那么，古人还总结了规律特征，接下来我们一起来深入了解，并学习巩固该解题思路。

　　三、特殊模型及方法

　　(1)余同加余

　　如果两个除式的被除数相同，余数相同，那么这个被除数的值等于两个除数的最小公倍数的倍数加余数。例如，X÷3=………1，X÷4=………1，则X=12n+1。

　　(2)和同加和

　　如果两个除式的被除数相同，除数与余数的和相同，那么这个被除数的值等于两个除数的最小公倍数的倍数加上除数与余数的和。例如，X÷3=………2，X÷4=………1，两个列式的相同余数可以是5(商的值小1，余数就加一个除数)，像5这样的数字是广义上的余数，我们叫做同余余数，从而转化为模型1余数相同的情况，所以X表示为12n+5。

　　(3)差同减差

　　如果两个除式的被除数相同，除数与余数的差相同，那么这个被除数的值等于两个除数的最小公倍数的倍数减去除数与余数的差。例如，X÷3=………1，X÷4=………2，两个列式的相同余数可以是-2(商的值大1，余数就减去一个除数)，从而又转化为模型1余数相同的情况，因此X表示为12n-2。

　　总结出的三个基本模型帮助我们解题，大家一定在理解的基础上记住规则，这样可以更快速的解题。那么，对于有的题目不能运用以上三个模型的时候，我们还有更为通用的方法，逐步满足法，一起来看吧。

　　解题步骤：先满足一个条件，再满足另一个条件，直到满足...

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行测技巧：巧用中国剩余定理解决余数问题

　　近年来国考行测数量关系题目中出现很多余数相关问题，多数同学仅仅掌握了基本的同余特性解决余数问题的基本方法，但是对于一些特殊的题型不会应对，我们可以采用一种新的方法——中国剩余定理来解决实际问题，明确题目形式，掌握基本解题方法，利用初等数论解同余式或许会给我们带来一些意想不到的效果。

　　一、基本形式

　　一个数除以A余数为a,除以B余数为b，除以C余数为c，求符合条件的数。

　　二、常考题型

　　1、和同加和(X=除数的公倍数+除数和余数的和)

　　【例】某歌舞团200多人在大厅列队排练，若排成7排则多2人，排成5排则多4人，排成6排则多3人，问该歌舞团共有多少人?

　　解析：题目中除数和余数虽然不同，但是除数和余数的和都为9，这个时候称之为和同，歌舞团人数为7、5、6的公倍数加上9，此时人数可以表示为210n+9，人数为200多人，则此时歌舞团人数=210+9=219。

　　2、余同加余(X=除数的公倍数+余数)

　　【例】某班进行排队，每排4个、5个、6个最后一排都余2个，问这个班最少有多少人?

　　解析：题目中除数4、5、6各不相同，但余数都为2，此时我们称之为余同，此时班级人数为除数的公倍数+2，班级人数可以表示为60n+2，则此时班级最少人数为60+2=62人。

　　3、差同减差(X=除数的公倍数-差)

　　【例】三位运动员跨台阶，台阶总数在 100-150 级之间，第一位运动员每次跨 3 级台阶，最后一步还剩 2 级台阶。第二位运动员每次跨 4 级台阶，最后一步还剩 3 级台阶。第三位运动员每次跨 5 级台阶，最后一步还剩 4 级台阶。问：这些台阶总共有多少级?

　　解析：题目中除数和余数的差均为1，此时我们称之为差同，此时台阶数为除数的公倍数-5，台阶数可以表示为60n-1，又已知台阶数处于100-150之间，所以，此时n=2,符合条件的数只能是60×2-1=119。

　　4、逐步满足法(从除数最大的开始满足)

　　【例】一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班最少有多少学生?

　　解析：题目可以看成，除以3余2，除以5余3，除以7余4。不同于任何一种上述题型，此时用的方法是“逐步满足法”，从除数最大的7开始，从“除7余4的数”中找出符合“除以5余3的数”，就是在7的基础上一直加4，直到所得的数除以5余3，不难发现满足“除以7余4”和“除以5余3”的最小的数为18，接下来只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除以3余2”即可，人数可以表示为35n+18，当n=1时三个条件全部满足，则班级学生人数最少为53人。另外，考试中行测部分均为选择题，结合选项带入排除也不失为一种行之有效的方法。

　　数论问题中的余数问题看似困难，但是掌握基本的解题方法，根据已知条件把实际问题转变为基础的数论问题，...

　　做了许多行测模拟题还是没有有效的提升自己的分数？那是你没有掌握一些技巧和重点，下面由出国留学网小编为你精心准备了“行测数量关系：速解中国剩余定理”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！

行测数量关系：速解中国剩余定理

　　余数问题在行测考试中考察频率都非常高，而且以不同的形式考察，比如说对余数基本定义的考察，以及同余数特性题型的考察。掌握好解余数问题的一些技巧，对考生来说至关重要。今天主要来说说中国剩余定理的解题方法。中国剩余定理有着千年的文化历史，早在春秋时期就出现过，是我国悠久历史的象征，中国剩余定理是一个大的数学体系，而今天主要是学习现有的公职类考试中常见题型的考察形式，以及解题方法。

　　一、什么是中国剩余定理

　　中国剩余定理最早出现在《孙子算经》中，又名物不知数问题。今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何?”这个问题称为“孙子问题”，后经宋朝人传入西方，引起西方广大关注，以至于后来该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

　　二、中国剩余定理的通用形式

　　M除以A得到余数a;

　　M除以B得到余数b;

　　M除以C得到余数c;

　　求M为多少?

　　三、中国剩余定理的解法

　　1.余同加余：

　　M÷3…1

　　M÷4…1

　　当M除以不同的除数得到余数相同时，此时M的值为除数的最小公倍数的倍数加一，如下： M=12N+1

　　2.和同加和：

　　M÷3…2

　　M÷4…1

　　当M除以不同的除数得到余数与除数的加和相同时，此时M的值为除数的最小公倍数的倍数加上余数与除数的相应的和，如下： M=12N+5

　　3. 差同减差：

　　M÷5…2

　　M÷4…1

　　当M除以不同的除数得到除数与余数的差相同时，此时M的值为除数的最小公倍数的倍数减去除数与余数的差，如下： M=12N-3

　　4. 逐步满足法：

　　根据条件从除数最小的式子用数逐步满足题目要求，试探的找出答案。

　　5. 带入排除法：

　　将答案依次带到题目中，判断那个选项符合要求。

　　四、例题精讲

　　【例题1】一个小于200数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是多少( B )。

　　A.118 B.140 C.153 D.162

　　【答案】B。 根据题意同意数除以不同除数，但他们的除数和余数的差相同都为3，属于差同减差，所以这个数为143N-3。同时这个数小于200，所以当N为1时，所以这个数为140。故选B。

　　【例题2】哥三个数的自然数P满足：除以7余2，除以6余2，除以5余2，则符合条件的自然数P有( C )。

　　A.2 B.3 C.4 D.5

　　【答案】C。 根据题意余数都相同，属于余同加余，属于这个三位数为210N+2，由题意可得N大于等于...

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　　一、余同加余

　　例1：一个正整数除以3余1，除以4余1，则这个数最小是多少?

　　解析：拿到这道题我们直接的想法是带入数字进行验算，这时可以进行计算的，但是这道题相对来说比较简单，但是如果只是用带入数字进行验算的话就会有点慢，所以我们采用另一种方式叫做余同加余，本题中这个数除以3和4都是余1，那么我们可以知道这个数减1一定可以被3和4整除，也就是说这个数可以用12n+1进行表示，当n=0时这个数最小为1，得到结果。

　　其实从上题我们可以发现，当余数一样的时候，那么这个数的通式就可以写成除数的最小公倍数乘以n再加上余数就可。

　　二、和同加和

　　例2：一个正整数除以3余2，除以4余1，则这个数最小是多少?

　　解析：这个题目拿到之后发现好像不能用简单的方法，但是我们先想这样一个为题，如果11除以5商是2，余数是1，能不能看成商是1呢?其实也可以，商是1的话，那么余数就是6，当然此时的余数和我们一直学过的余数就有所不同，因为这个时候余数比除数大了，不过依然满足等量关系。同上面的例子再看本题就可以想除以3余2，可以看成除以3余5，除以4余1，可以看成除以4余5，这样再引用上面的知识，这个通式就可以写成12n+5，从而得到答案。

　　这就是我们的第二类和同加和，这里面的和同是除数和余数的和相同。

　　三、差同减差

　　例3：一个正整数除以3余1，除以4余2，则这个数最小是多少?

　　解析：通过上面的讲解同理，14除以5商是2余4，是不是可以看成如果商是3的话就缺个1，所以也能看成商是3余数是-1，那么本题就可以看成一个数除以3余-2，除以4余-2，所以通式应该是12n-2，得到结果。这就是差同减差。

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　　2017国考行测：中国剩余定理快速解题

　　【基础理论】

　　1、中国剩余定理的通用形式

　　某数除以A余a，除以B余b，除以C余c……求这个数。

　　例如：一个小于50的数字，除以7余1，除以5余4，除以9余4，这个数是多少?

　　2、中国剩余定理的求解方法

　　(1)余同加余——X=除数公倍数+余数

　　【例】X除以8余3，除以6余3，且X在20~30之间，求X。

　　解析：题目中，余数都是3，所以说余数相同，此时X=除数公倍数+余数，即X=24n+3，由于X在20~30之间，所以X=27。

　　注：除数公倍数等于其最小公倍数的N倍

　　(2)差同减差——X=除数公倍数-差(差为除数和余数的差)

　　【例】X除以6余3，除以5余2，且X在20~30之间，求X。

　　解析：题目中，除以6余3，说明除数和余数之差为3，同理除以5余2，除数与余数之差也为3，所以说差相同。此时X=除数公倍数-差，即X=30n-3，而X在20~30之间，所以X=27。

　　(3)和同加和­——X=除数公倍数+和(和为除数和余数的和)

　　【例】X除以5余2，除以4余3，且X在20~30之间，求X。

　　解析：题目中，除以5余2，则除数和余数之和为7，同理除以4余3，除数和余数之和也为7，所以说和相同。此时X=除数公倍数+和，即X=20n+7，而X在20~30之间，则X=27。

　　(4)逐步满足法(从除数最大的开始满足)

　　【例】X除以5余2，X除以8余3，求X最小为多少

　　解析：题目中，余数、和、差都不相同，则考虑逐步满足法，从除数大的即除数为8开始，满足除以8余3的有11,19,27，而只有到27才满足除以5余2，所以X=27。

　　了解基本方法后，我们来看几个真题熟悉一下中国剩余定理的考核。

　　【真题再现】某校二年级全部共3个班的学生排队，每排4人，5人或6人，最后一排都只有2人，这个学校二年级有( )名学生。

　　A.120 B.122 C.121 D.123

　　【答案】B。最后一排都剩2人，说明余数相同，则属于余同加余的情况，人数=4、5、6的公倍数+2=60n+2，答案符合的只有B。另解：5人一排剩2人，说明除以5余2，答案只有B符合。

　　【真题再现】某歌舞团在大厅列队排练，若排成7排则多2人，排成5排则多4人，排成6排则多3人，问该歌舞团共有多少人?

　　A.102 B.108 C.115 D.219

　　【答案】D。观察题干，即人数除以7余2，除以5余4，除以6余3，属于和同加和的情况，和都为9，则人数=7、5、6的公倍数+和=210n+9，答案符合条件的只有D。另解：排成5排多4人，说明除以5余4，答案只有D符合

　　专家点评：中国剩余定理的考核很多都可以和整除联合进行...

　　【例1】一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几?

　　【解析】题中3、4、5三个数两两互质。

　　则〔4，5〕=20;〔3，5〕=15;〔3，4〕=12;〔3，4，5〕=60。

　　为了使20被3除余1，用20×2=40;

　　使15被4除余1，用15×3=45;

　　使12被5除余1，用12×3=36。

　　然后，40×1+45×2+36×4=274，

　　因为，274>60，所以，274-60×4=34，就是所求的数。

　　【例2】一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几?在1000内符合这样条件的数有几个.?

　　【解析】题中3、7、8三个数两两互质。

　　则〔7，8〕=56;〔3，8〕=24;〔3，7〕=21;〔3，7，8〕=168。

　　为了使56被3除余1，用56×2=112;

　　使24被7除余1，用24×5=120。

　　使21被8除余1，用21×5=105;

　　然后，112×2+120×4+105×5=1229，

　　因为，1229>168，所以，1229-168×7=53，就是所求的数。

　　再用(1000-53)/168得5, 所以在1000内符合条件的数有6个.

　　【例3】一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。

　　【解析】题中5、8、11三个数两两互质。

　　则〔8，11〕=88;〔5，11〕=55;〔5，8〕=40;〔5，8，11〕=440。

　　为了使88被5除余1，用88×2=176;

　　使55被8除余1，用55×7=385;

　　使40被11除余1，用40×8=320。

　　然后，176×4+385×3+320×2=2499，

　　因为，2499>440，所以，2499-440×5=299，就是所求的数。

　　【例4】有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ?

　　【解析】题中9、7、5三个数两两互质。

　　则〔7，5〕=35;〔9，5〕=45;〔9，7〕=63;〔9，7，5〕=315。

　　为了使35被9除余1，用35×8=280;

　　使45被7除余1，用45×5=225;

　　使63被5除余1，用63×2=126。

　　然后，280×5+225×1+126×2=1877，

　　因为，1877>315，所以，1877-315×5=302，就是所求的数。

　　关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法

　　“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。

　　【例一】一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少?

　　解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7+4=46。下面一步试下46能不能满足第...

　　一、中国剩余定理的由来

　　我国古代数学名著《孙子算经》中，记载这样一个问题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”用现在的话来说就是：“有一批物品，3个3个地数余2个，5个5个地数余3个，7个7个地数余2个，问这批物品最少有多少个?” 这个问题的解题思路，被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。

　　二、“中国剩余定理”算理及其应用

　　明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：

　　三人同行七十(70)稀，五树梅花廿一(21)枝，

　　七子团圆正月半(15)，除百零五(105)便得知。

　　歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘;第二句指除以5的余数用21去乘;第三句指除以7的余数用15去乘;第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。即：70×2+21×3+15×2-105×2=23

　　为什么这样解呢?因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。(任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。)把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。

　　三、“中国剩余定理”的应用

　　主要是是针对那些我们学的口诀“公倍数做周期：余同取余，和同加和，差同减差”以外的余数问题的题目。

　　例1、一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几?

　　A、81　　B、34　　C、128　　D、103

　　【答案】B　解析：本题属于余数问题。题中3、4、5三个数两两互质。则〔4，5〕=20;〔3，5〕=15;〔3，4〕=12;〔3，4，5〕=60。

　　为了使20被3除余1，用20×2=40;

　　使15被4除余1，用15×3=45;

　　使12被5除余1，用12×3=36。

　　然后，40×1+45×2+36×4=274。

　　因为，274>60，所以，274-60×4=34，就是所求的数。所以选择B选项。

　　例2、一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几?

　　A、53　　B、34　　C、128　　D、73

　　【答案】A　解析：本题属于余数问题。题中3、7、8三个数两两互质。则〔7，8〕=56;〔3，8〕=24;〔3，7〕=21;〔3，7，8〕=168。

　　为了使56被3除余1，用56×2=112;

　　使24被7除余1，用24×5=120。

　　使21被8除余1，用21×5=105;

　　然后，112×2+120×4+105×5=1229。

　　因为，1229>168，所以，1229-168×7=53，就是所求的数。所以选择A选项。

　　例3、一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。

　　A...