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复合函数求导公式推导过程有哪些 该如何推导

复合函数求导公式 复合函数求导公式怎么推导

  在学习数学的过程中,经常会遇到复合函数求导的问题,那么复合函数求导公式推导过程有哪些呢?下面是由出国留学网编辑为大家整理的“复合函数求导公式推导过程有哪些 该如何推导”,仅供参考,欢迎大家阅读本文。

  复合函数求导公式推导过程有哪些

  假设我们要求f(g(x))对x的导数,且f(g(x))和g(x)均可导。

  首先,根据定义:当h->0时,g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h,所以,当h->0时,lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)->0

  设v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)

  就有:g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h

  同理:f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k

  所以,f(g(x)+[g'(x) + v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h (其实就是y=g(x),k=[g'(x) + v]h)

  所以,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h−f(g(x)))/h

  =[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]

  当h->0时,u和v都->0,这个容易看。

  所以当h->0时,(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]

  =f'(g(x))·g'(x)

  然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)

  复合函数求导公式是什么

  1、设u=g(x),对f(u)求导得:f'(x)=f'(u)*g'(x)。

  2、设u=g(x),a=p(u),对f(a)求导得:f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。

  3、设函数y=f(u)的定义域为Du,值域为Mu,函数u=g(x)的定义域为Dx,值域为Mx,如果 Mx∩Du≠Ø,那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应,则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系,这种函数称为复合函数(composite function),记为: y=f[g(x)],其中x称为自变量,u为中间变量,y为因变量(即函数)。

  4、定义域:若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围,取他们的交集。

  5、周期性:设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为 T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+)。

  6、单调(增减)性的决定因素:依y=f(u),μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增;减+减=增; 增+减=减;减+增=减”,可以简化为“同增异减”。

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