容斥问题

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行测数量关系技巧：容斥问题求极值

　　对于绝大部分考生而言，行测数量关系一直是比较难的专项，但是要想真正在笔试中遥遥领先数量部分还是要去攻破的。因此，针对数量所考察的所有题型我们也要由易到难的逐步攻破，在考场考试时学会挑出自己平时擅长的题型先入手。所以，今天就给大家分享下容斥这一考点。

　　容斥问题常规的考点有二者容斥和三者容斥问题，利用一些公式以及文氏图能够轻松地解决。今天我们就把这个题型深入挖掘探讨。容斥问题也会涉及到求极值的问题，接下来我们就以题目为例讲解下容斥中求极值问题怎么处理。

　　例题1、某一学校有500人，其中选修数学的有359人，选修文学的有408人，那么两种课程都选的学生至少有多少人?

　　A.165 B.203 C.267 D.199

　　【答案】C。读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题，但是有涉及到求极值问题。解极值问题我们可以通过逆向思维来求解，题目要求两种课程都选的至少，即求没选课程的人数最多。

　　通过这个表格我们可以得出要想不选课程的人数最多，即未选数学的141人和未选文学的92人不重复，因此不选课程的人数最多为141+92，因此题目所求的两种都选的最少=500-(141+92)=267人，故选C。

　　例题2、阅览室有100本杂志。小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有()本。

　　A.5 B.10 C.15 D.30

　　【答案】A。读完题目我们也可以判断出事考察三者容斥中的极值问题，那么我们也可以利用逆向思维来求解，

　　所以我们也能知道未借阅的杂志最多=25+30+40，那么题目所求=100-(25+30+40)=5，因此选A。

　　通过这2道例题的讲解我们了解到容斥问题的极值问题其实也可以很简单，求N部分都包含的至少=(A+B+C+D+...+N)-(N-1)×I，后期我们碰到这样的问题直接带入公式求解就可以啦。

　　例题3、有135人参加某单位的招聘，31人有英语证书和普通话证书，37人有英语证书和计算机证书，16人有普通话证书和计算机证书，其中一部分人有三种证书，而一部分人则只有一种证书。该单位要求必须至少有两种上述证书的应聘者才有资格参加面试。问至少有多少人不能参加面试?

　　A.50 B.51 C.52 D.53

　　【答案】D。读完题目我们也可以确定是在考察三者容...

　　行测数量的运算一直是行测考试的重点题型，下面由出国留学网小编为你精心准备了“行测技巧：两种方法巧解数量关系“容斥问题””，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！

行测技巧：两种方法巧解数量关系“容斥问题”

　　容斥问题其实是一种在考试中比较常见且简单的题型，它考察的是集合之间彼此的交集问题，一般来说解决容斥问题最常用的两种方法就是文氏图法和公式法。下面小编为大家讲解。

　　让我们先从一个生活上的小例子来理解什么是容斥：AB是两个同居室友，有一天A下班回家时在路上买了香蕉、苹果、菠萝三种水果，B回家路上买了菠萝、葡萄、西瓜三种水果，那么家里现在一共有多少种水果？答案很简单，因为尽管两个人各买了三种水果，但其中菠萝是重复的，所以我们在3+3之后还需要把多算了一遍的菠萝减下去，而这就是容斥问题的本质：减去多算的，补上空白的。

　　在行测的容斥问题里，较常考的是三者容斥，也就是三个集合之间的关系，我们把三个集合分别称作A、B、C，三个集合的总集称作U，就可以得到三者容斥的公式：

　　U=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C+三者都没有的

　　在做题的时候只需要找到题干中给定的各个条件，选择直接套用，然后就可以求出公式中缺少的项，从而快速得到答案。

　　以一道题目为例：18名游泳运动员中，有8名参加仰泳，有10名参加蛙泳，有12名参加自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有两名这三个项目都参加。三个项目都没有参加的有多少名？

　　在题目中，ABC即对应仰泳、蛙泳、自由泳，那么A、B、C、A∩B，B∩C，A∩B∩C都是已知的，求都没有参加，即求剩下的项，首先，我们先把题目中已经给的数据填入公式：

　　18=8+10+12-4-6-2+2+x

　　在这个方程中，我们解得x=1，也就是三个项目都没有参加的有一个人。

　　而公式法虽然简单，但有的时候可能会觉得有些眼花缭乱，这种时候文氏图法就显得更为直观，我们一起来感受一下文氏图法在题目中的应用：

　　按照从内向外依次填充的方式，在文氏图中填写不同区域对应的数据，这样题目无论是求哪个部分，又或是其中一些部分的和、差关系（比如只会游一种泳的、只会游两种泳的、只会自由泳的人比只会蛙泳的多多少），我们就都不怕了。

　　所以，公式法简洁，文氏图灵活，两种方法各有千秋，大家可以根据题目的特点灵活运用，从而在考试中将容斥问题快速解决。

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　　行测数量关系备考辅导：一招搞定容斥问题

　　在行测试卷中，数量关系部分很多考生会存在畏惧心理，究其原因是未曾学会解决问题的简便方法，把握其中的技巧，尤其是在具体题型中，无法做到通过一道题目解决一类题目，举一反三、触类旁通，所以，下面小编对用方程法解决容斥问题做详细介绍。

　　一、方法描述

　　问题求不喜欢三个景点中任何一个的，即为求d，将第一个式子和第三个式子相加，第二个和第四个式子相加，再将和做差，可得d=20，即答案为A。

　　二、例题剖析

　　例题1：某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用。问这次调查共发出多少分问卷?

　　A.310 B.360 C.390 D.410

　　解析:答案为D。由题目可知，

　　问有多少人未参加这三种培训，即求d，则d=50+8+3-47=14，所以答案为C。

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容斥问题是国考的必考点，这样的题型如何解答呢？本网为大家整理了2019国考行测辅导：容斥问题解题技巧，供考生们参考，更多资讯请关注本网站更新。

　　2019国考行测辅导：容斥问题解题技巧

　　一、概念

　　容斥问题即包含与排斥问题，它是一种计数问题。在计数时，几个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分，采用这种计数方法的题型称为容斥问题。简单来说就是要做到不重不漏。此类题目的题目特点为：题中给出多个概念，各个概念之间有集合关联。

　　二、解题原则

　　将重复计数的次数变为一次，或者说是把重叠的面积变为一层，做到不重不漏。即先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数量先计算出来，然后再把计数时重复计算的数量剔除掉，把遗漏的数量补上，使得计算结果既无遗漏又无重复。

　　三、解题方法——公式法

　　1.两者容斥： 2.三者容斥： 3.容斥极值： 四、经典例题

　　【例1】某科研单位共有68名科研人员，其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之。既没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员有多少人？

　　A.13 B.10 C.5 D.8

　　【解析】C。根据题目可知题中涉及的项目共有两个，属于二者容斥的问题。直接利用两者容斥的公式将相关数据带入可得： ，求得 。选择C选项。

　　【例2】学校开设三门选修课，某年级有240人，其中有120人选择英语写作，有95人选择书法，有78人选择精算学，其中有105人选择三种学科中的至少两种，30人三中学科都选择了，问该年级三种都没选的有多少人？

　　A.122 B.82 C.112 D.216

　　【解析】B。认真分析题目不难发现题中共出现了三个项目，因此该题为三者容斥问题。在该题中要注意的是题中说有105人选择三种学科中的至少两种，至少两种包含了两种及三种两种情况。因此根据公式结合不重不漏的原则可得： ，将相关数据带入可以求得： 。故选择B。

　　【例3】一次考试共有200人参加，试卷共5道题，凡答对3题或3题以上就为合格。考试结果为：答错第一题的28人，答错第二题的42人，打错第...

　　出国留学网为您整理了《2018年公务员考试行测技巧：集合之间的游戏——容斥问题》，希望对您有所帮助!在这里祝考生们都能取得好成绩!

2018年公务员考试行测技巧：集合之间的游戏——容斥问题

　　行测考试中，数量关系是必考题型，而容斥问题则是其中较为常见的一类题型，在每年的省考、国考、事业单位的考试中都频频出现，并且越来越倾向于思维性的考察，要引起大家的重视。

　　首先，给大家介绍一下“容斥问题”。把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理，应用容斥原理来解题就是容斥问题。容斥问题分2类题型：1，求定值;2，求极值。在历年的考试中，基本上都是考察求定值的问题，而求定值又分为“二者容斥”和“三者容斥”问题，考试中也基本只考察“三者容斥”。所以，今天就“三者容斥”求定值的方法，详细讲解如下：

　　一般来说，解题方法有两种：

　　1、 公式法：题干的数据可直接代入到二者、三者容斥的求值公式中。

　　三者容斥求定值公式：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。

　　2、 文氏图法：当题干所给数据不能直接代入公式时，就需要利用该方法，进行思维性的理解进而解决问题。

　　例1：某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人?

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　【答案】B。解析：方法一：题干的数据可直接代入三者容斥的公式中，应用公式法解题。公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC，根据题意可得，至少选修一门课程的有40+36+30-28-26-24+20=48人，则三门均未选的有50-48=2人。

　　方法二：读完题干可以发现，“选修甲、乙、丙课程”在题中是并列关系，那么表示其数目的40、36、30三个数字只能用加法处理，等于106;“兼选甲、乙、丙其中两门课程”在题中是并列关系，那么表示其数目的28、26、24三个数字只能用加法处理，等于78。这样原本题中的8个数字就变为4个(50、106、78、20)，而这4个数字之间也只能作和或者作差，那么得到结果的尾数必为“2”或“8”。观察选项，发现只有B项尾数是2，因此，本题答案确定就是B项。这样应用尾数的思想成功实现了“秒杀”。

　　例2：某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有( )种。

　　A.37 B.36 C.35 D.34

　　【答案】D。解析：读完题干，发现题干所给数据不是公式所需的，不能直接代入公式，那么利用文氏图解题。如图，如果该图形中包含的不合格产品种数按8+10+9计算，那么灰色部分包含的种数被重复计算了一次，黑色部分包含的种数被重复计算了两次，所以至少有一项不合格的有(8+10+9...

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2018年国考行测答题技巧：如何用线性方程解决容斥问题

　　国家公务员考试每年都是公考大军的逐鹿对象，国家公务员各类考试职位相比于其他考试来讲，对于考生的吸引力会更大，竞争越激烈也就说明同学们复习需要更用心。在行测的五大专项当中，数量关系往往被同学们所忽略，数量关系是很多同学头疼的地方，所以果断放弃了数量的复习。

　　其实，数量关系也没有大家想象的那么难。很多解题的技巧能够帮助大家快速解题。今天我们就来研究一下用线性方程解容斥问题。

　　一般情况下同学们会想到用文氏图来解容斥问题，对于两者容斥，我们很容易通过文氏图来解决问题，但是对于三者容斥，用文氏图解题常常会出现计算重复或者遗漏的问题。

　　比如说我们看下面这个文氏图：

　　我们会发现在这个图当中存在一层、两层和三层的情况，如果进行直接加减很容易出现重复或者遗漏的地方，那么如果我们按照每一部分的层数进行划分，我们会发现这个时候，整个图变得非常清晰。

　　1、2、3这三个部分都是只有一层，我们把1+2+3记为a;4、5、6三个部分各有两层，我们把4+5+6记为b，7这一部分有三层我们记为c，8这部分都没有我们记为d。

　　根据题意我们能够判定：I=a+b+c+d，A+B+C=a+2b+3c。所以做题的时候我们只需要将各个部分找清楚，自然不会出现重复或者遗漏的情况。

　　我们来验证一下：

　　例题：某高校对一些学生进行问卷调查，在接手调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加任何一种考试的有15人，问接手调查的学生共有多少人?

　　A.120 B.144 C.177 D.192

　　解析：全集I=a+b+c+d，A+B+C=a+2b+3c，A=63，B=89，C=47，c=24，b=46，d=15，带入解得I=120。

　　我们用线性方程的方法不会出现重复或者遗漏的情况。而且把负责的文氏图转化成了简单的方程。数量关系汇总类似这样的方法还有很多，我们也会在后面的文章中和小伙伴们共同分享，欢迎大家来中公和我们共同学习。

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2018年国考行测指导：二者容斥问题解题技巧

　　在我们公务员考试的过程中，容斥问题是行测数量关系中比较常考的一道题。这类题型总是令很多考生头疼不已，因为容斥问题看起来复杂多变，让考生一时找不到头绪。但是这类题还是有着非常明显的内在规律，只要大家能够掌握该题型的内在规律，看似复杂的问题就能迎刃而解。对于二者容斥问题一般可以用文氏图或者直接用公式来解决，下面总结一下二者容斥的公式。容斥问题是一种计数类问题，在计数的过程中重点是每个部分只能计一次，不能重复，如下图I表示全集也就是总数，A、B表示两个集合，A、B重叠的部分我们叫做集合的交集，用A∩B表示，Y表示在整体中但不在A、B里面的部分，那么全集I就可以表示成A+B-A∩B+Y，这就是二者容斥的简单公式。

　　【例1】公司某个部门有80%的员工有硕士以上学历，有50%的员工有销售经验，该部门既有硕士以上学历，又有销售经验的员工至少占员工的( )?

　　A 20% B 30% C 40% D 50%

　　【答案】选B

　　【解析】 此题考查的是二者容斥极值问题，求两个集合交集的最小值，用两个集合相加减去全集，所求=80%+50%-100%=30%。

　　【例2】现有50名学生都做物力、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )

　　A 27人 B 25人 C 19人 D 10人

　　【答案】选B

　　【解析】 根据二者容斥的公式直接带入数值，两种实验都做对的=(40+31+4)-50=25。

　　【例3】体育课上老师要求全班50名同学按顺序报数，报4的倍数的同学向后转，报6的倍数的同学再向后转，那么现在面向老师的有几人( )

　　A 26人 B 30人 C 34人 D 38人

　　【答案】选D...

　　出国留学网公务员考试频道小编为大家整理2017国家公务员考试行测解题方法：容斥问题公式法，希望对您有所帮助!

　　公务员考试行测中的容斥问题为包含与排斥问题，它是一种计数问题。在计数时，几个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分，采用这种计数方法的题型称为容斥问题。要解决这类问题，把重复数的次数变为只数 1 次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏，即先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，即然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，把遗漏的数目补上，使得计算的结果既无遗漏又无重复。 这一类问题在公务员考试行测中时有出现，其实并不难。主要有两者容斥和三者容斥两种情况。今天着重讲用公式法如何解题。

　　一、两者容斥

　　公式：I=A+B-X+Y

　　二、三者容斥

　　主要有三种问法：

　　第一种：只喜欢AB的有e人，只喜欢BC的有f人，只喜欢AC的有g人，三者都喜欢的有d人。

　　公式：I=A+B+C-e-f-g-2d+Y

　　第二种：同时喜欢AB的有d+e人，同时喜欢BC的有d+f人，同时喜欢AC的有d+g人，三者都喜欢的有d人。

　　公式：I=A+B+C-(d+e)-(d+f)-(d+g)+d+Y

　　第三种：至少喜欢两者的有d+e+f+g人。

　　公式：I=A+B+C-(d+e+f+g)-d+Y

　　接下来我们用公式来解决几个简单的题目：

　　例1.班里一共有40名同学，其中喜欢语文的有30个同学，喜欢数学的有30个同学，两者都喜欢的有25个同学，请问，两者都不喜欢的有多少个同学?

　　A.5 B. 6 C.7 D.8

　　【解析】答案选A。根据两者容斥基本公式，两者都不喜欢的设为，则可列式为：30+30-25+Y=40，解得：Y=5。所以选A。

　　例2.班里一共有40名同学，其中喜欢语文的有25个同学，喜欢数学的有25个同学，喜欢英语的有25个同学，喜欢两门的有20人，三门都喜欢的有10人，请问，三门都不喜欢的有多少个同学?

　　A.5 B. 6 C.7 D.8

　　【解析】答案选A。根据两者容斥基本公式，三者都不喜欢的设为Y，则可列式为：25+25+25-20-2×10+Y=40，解之得：Y=5。所以选A。

　　例3.班里一共有40名同学，其中喜欢语文的有25个同学，喜欢数学的有25个同学，喜欢英语的有25人。同时喜欢语文和数学的有15人，同时谢欢数学和英语的有15人，同时喜欢数学和英语的有15人，三者都喜欢的有8人。请问三者都不喜欢的有多少人?

　　A.1 B. 2 C.3 D.4

　　【解析】答案选B。根据两者容斥基本公式，三者都不喜欢的设为Y，则可列式为：25+25+25-15-15-15+8+Y=40，解之得：Y=2。所以选B。