构造性辅助线四例
湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬
在几何证明中除常见的连接、延长、作平行、作垂直等辅助线之外，还有一种作辅助线的思路，就是通过巧妙的几何变换构造出全等或是特殊图形。这种作辅助线方法我们通常称为构造性辅助线。
一、翻折构造
例1 如图1，在等腰直角△ABC的斜边AB上，取两点M、N，使∠MCN=45°，记AM=m，MN=x，BN=n。则以x、m、n为边长的三角形的形状是（ ）
A.锐角三角形； B.直角三角形；
C.钝角三角形； D.随x、m、n变化而变化
分析：⑴要判断以x、m、n为边长的三角形的形状，关键是要设法将这三条线段长集中到同一个三角形中；
⑵如何用好已知条件中的∠MCN=45°，应同时考虑∠ACM+∠BCN=45°。
⑶为将长为x、m、n的三条线段集中，可考虑将△ACM沿CM翻折（如图），这样可将m、x两条线段集中。再连接PN，若能证明PN=BN，则长为x、m、n的三条线段就集中到了△PMN中。
由∠ACM+∠BCN=45°，∠PCM+∠PCN=45°∴∠BCN=∠PCN，
可证△BCN≌△PCN，PN=BN=n。
∴∠MPC=∠A=45°，∠NPC=∠B=45° ∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°
∴以x、m、n为边长的三角形的形状直角三角形。
提示：当要证的结论需集中某些线段，且图形中出现了等量角的关系、角的平分线等条件时，可考虑翻折构造。
二、旋转构造
例2 如图2，已知O是等边三角形△ABC内一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6∶5∶4，在以OA、OB、OC为边的三角形中，求此三边所对的度数。
分析：⑴解决此题的关键依然是要将OA、OB、OC三条线段集中到同一个三角形中。
⑵考虑到等边三角形的的特点，若将△AOB绕A点旋转60°到△AMC，因为△AOM为等边三角形，MO=AO，又OB=MC，则OA、OB、OC就集中到了△COM中。OA、OB、OC为三边所对的角即为求△COM的三个内角。
由∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6∶5∶4，设∠AOB=6x，∠BOC=5x，∠AOC=4x
则有6x+5x+4x=360°，x=24°，
∠AMC=∠AOB=6x=144°，∠AOC=4x=96° 由∠AOM=∠AMO=60°
∴∠MOC=∠AOC-∠AOM=36°；∠OMC=∠AMC-∠AMO=84°
∠ACM=180°-（∠MOC+∠OMC）=60°
∴以OA、OB、OC为边的三角形三边所对的度数分别为：60°、36°、84°。
提示：旋转构造一般多用于等边三角形、正方形、等腰直角三角形中，主要是应同时考虑到旋转后的对应边能够重合，旋转角度能构成特殊角等两个条件。
三、轴对称构造
例3 如图3，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在两边上有点Q、R（均不同于O），则△PQR的周长的最小值是 。
分析：⑴要确定△PQR的周长最小，关键是如何确定Q、R的位置。而只有利用轴对称将折线段化为直线段才能求出最小值。
⑵已知条件中∠AOB=45°，如果分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连OM、ON，根据轴对称性质则有∠MON=90°，可构造出直角三角形。
作P关于OA、OB的对称点M、N，连MN与OA、OB的交点Q、R，由轴对称性质，此时△PQR的周长的最小，最小周长等于线段MN的长度。
连OM、ON。由轴对称性质，OM=OP=ON=10，∠MON=90°，MN=10
提示：一般地，求证几条折线段之和的问题通常考虑作轴对称，将折线段转化为直线段。
四、特殊构造
例4 如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD。求证：BD2=AB2+BC2。
分析：⑴所求证的关系为平方形式，联想到构造直角三角形运用勾股定理求证。∠ABC=30°，已BC为边向外作等边三角形△BCE，则可得到∠ABE=90°，BC=BE，可将AB
2+BC2转化为直角三角形△ABE中AB2+BE2。这样只需证明AE=BD即可。
⑵由∠ADC=60°，AD=CD，连接AC，则△ADC为等边三角形。易观察到易证△DCB≌△ACE，于是AE=BD。
提示：根据题设条件中的特殊角构造特殊图形（等边三角形、直角三角形、正方形等），也是几何证明中常用的辅助线。
作者简介：宋毓彬，男，42岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《数理天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》等报刊发表教学辅导类文章40多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。
（发表于《中学生数学》2010年1月第1期）
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