借因式分解求值
湖北省黄石市下陆中学 周国强
因式分解用处多多。其中，某些求值问题亦可借助因式分解来解决，现举几例，以求抛砖引玉。
一、.求算式的值
例1 计算：1003
－501×2006
简析：因为2006=1003 ×2，501×2=1002，所以运用提公因式法进行因式分解，可简化运算。
。
解：原式=1003－501×2×1003=1003×（1003－1002）=1003。
例2 计算：101
－202－9998
简析：因为首项是101，第二项中的202=2×101，第三项中的9998=9999－1，
所以考虑用完全平方公式分解因式，可简化运算。
解：原式=101－2×101－（9999－1）=（101－1）－9999=100－9999=1。
二、求代数式的值
例3 当m=－5时，求m
－34m+225的值
简析：直接代入计算较麻烦，可先考虑用十字相乘法将所求的式子因式分解，再代入
计算。
解：∵m－34m
+225=（m－9）（m－25）=（m+3）（m－3）（m+5）（m
－5），
∴当m=－5时，原式= 0。
例4 已知a+a +1=0,求a
+2a
+5a+4a的值 。
简析：显然，解出a的值后，再代入计算是不可取的。若先把所求式子进行因式分解，
然后整体代入求值，则事半功倍。
解：∵a+2a
+5a+4a=（a+a）+4（a+a）=（a+a）（a+a+4）， ∴当a+a = － 1时，原式=－1×（－1+4）=－3。
三、求待定系数的值
例5 二次多项式x+2mx－3 m能被x－1整除，求 m的值。
简析：二次多项式x+2mx－3 m能被x－1整除，即x
+2mx－3 m中含有因式
x－1。若x+2mx－3 m能分解为两个关于x的一次式的积，则问题迎刃而解。
解：∵x
+2mx－3 m＝（x+3m）(x－m), 又x+2mx－3 m能被x－1整除，
∴x+3m＝x－1或x－m= x－1，
∴m=－
或1. 例6. k为何值时，方程（k－1）x－(2k+3)x+(k+4)=0(k≠1)的两根平方差为15？
简析：先将方程左边进行因式分解，进而求出两根，依题意可构造关于k的方程来解。
解：将原方程左边因式分解，变形为
[（k－1）x－(k+4)]（ｘ－1）= 0
∴
＝
，
。
∵
=±15,
∴3 k－8 k=0或3 k－4 k+6=0(无解)
由3 k－8 k=0得k=0或k=
。故当k=0或k=时，方程两根的平方差为15.
四、求函数的最值：
例7. 已知ｘ为实数，求函数y=－（x－4）（x－1 0 x+21）－100的最值。
简析：同学们会求二次函数的最值，而本题中的函数不是二次函数，能否求出它的最值呢？由于本题中的函数较特殊，我们不妨用因式分解法试试。
解：∵－（x
－4）（x－1 0 x+21）－100 =－（x+2）（x－2）（x－3）（x－7）－100
=－（x－5x－14）（x－5x+6）－100
=－（x－5x）
－8（x－5x）+16 =－（x－5x+4）≤0
∴无论x取何值，函数y总有最大值0。
例8.已知：关于x的方程x－2 x＋ k=0有实数根，且y=
+x
，函数y有最值吗？若有，试求出其值，若没有，请说明理由。
简析：借助因式分解不难求出y关于k的函数，再看此函数有无最值。
解：∵
+x=（+
）[（+）－3
] 又+=2，=k
∴+x
=2（4－3k）=8－6k 依题意，有△＝2－4k≥0，
∴k≤1，
即y=8－6k
这是y关于k的一次函数，故由一次函数的性质知，当k=1时，y有最小值2.
从以上几例可以看出，看似较难的求值问题，有时可以借助因式分解来解决，而且方便简捷。
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