三角形内外角平分线有关命题的证明及应用
湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 张昌林
命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+
∠A．
证明：如图１：
∵∠1＝∠
，∠２＝∠
， ∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①
∠1＋∠2＋∠D=180°②
①－②得：
∠1＋∠2＋∠A＝∠D③
由②得：
∠1＋∠2=180°－∠D④
把③代入④得：
∴180°－∠D＋∠A＝∠D
∠D=90°+∠A．
点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.
命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．
证明：如图２：
∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，
∴∠D=180°－∠1－∠2
=180°－（∠DBE+∠DCF）
=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）
=180°－ （∠A+180°）
=180°－ ∠A－90°
=90°－ ∠A；
点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.
命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．
证明：如图3：
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∠A+2∠1=2∠4①
∠1+∠E=∠4②
①×代入②得：
∠E=
∠A． 点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.
命题4 如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.
证明：如图3：
∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EF
CE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF
∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.
即EF=EG=EH
∵EG=EH
∴AE是△ABC的外角平分线．
点评 利用角平分线的性质和判定能够证明．
应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．
例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．
①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.
②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？
解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－
∠A=90°－ ×60°=60° 
②根据命题2的结论∠P=90°－
∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．
点评 此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
例２ 如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于
点，∠
BC与∠CD的平分线交与
点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠
= 度． 
解析：由命题③的结论不难发现规律∠
∠A．
可以直接得：∠=
×96°=3°．
点评 此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．
例３（2011湖北鄂州市中考第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．
解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．
点评 对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．
例４ (2003年山东省“KLT快乐灵通杯”初中数学竞赛试题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．
解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°
点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．
在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．
命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．
证明：如图１：
∵∠1＝∠，∠２＝∠，
∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①
∠1＋∠2＋∠D=180°②
①－②得：
∠1＋∠2＋∠A＝∠D③
由②得：
∠1＋∠2=180°－∠D④
把③代入④得：
∴180°－∠D＋∠A＝∠D
∠D=90°+∠A．
点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.
命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－
∠A．
证明：如图２：
∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，
∴∠D=180°－∠1－∠2
=180°－（∠DBE+∠DCF）
=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）
=180°－
（∠A+180°） =180°－ ∠A－90°
=90°－ ∠A；
点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.
∠A． 证明：如图3：
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∠A+2∠1=2∠4①
∠1+∠E=∠4②
①×代入②得：
∠E=∠A．
点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.
命题4 如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.
证明：如图3：
∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EF
CE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF
∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.
即EF=EG=EH
∵EG=EH
∴AE是△ABC的外角平分线．
点评 利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．
例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．
①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.
②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？
解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－ ∠A=90°－ ×60°=60°
②根据命题2的结论∠P=90°－ ∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．
点评 此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
例２ 如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠
BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．
解析：由命题③的结论不难发现规律∠
∠A． 可以直接得：∠=×96°=3°．
点评 此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．
例３（2011湖北鄂州市中考第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．
解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．
例４ (2003年山东省“KLT快乐灵通杯”初中数学竞赛试题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．
解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB－
∠ACB=90°－×90°=45° 点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．
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