关于四边形剪拼的探究
上小学的赵亮放学回家说：“今天的作业是剪图形，老师让剪三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形…，还让把剪好的图形拼成新的图形．”
在帮孩子完成作业的同时，我发现剪拼图形也挺有意思的做了一些研究，下面拿出来与大家分享．
注 这里讲的“剪”，只能沿直线剪；这里讲的“拼”，指图形拼完后不能有重叠部分，也不能有剩余部分．
１．平行四边形剪拼成一个三角形．
用“面积不变”的思想，平行四边形变三角形有两大类方法，每一大类都有无数种拼法．如图3，图7．
1.1一般的方法：
如图１，找出ＡＢ边中点Ｅ，作射线DA、射线CE，两条射线交与点D′．易证△AED′≌△BEC,将△BEC绕点Ｅ旋转180°，就和△AED′重合．这样将平行四边形ABCD沿CE剪开就可以拼成一个三角形（△DCD′）．
如图２，也可以在ＢＣ边上找中点，作法同上．
图１ 图２
那么是否只有这两种做法呢？当然不是，它的做法有无数种呀！下面我们来看一看．
1.２以动态的观点看问题：
如图３，找出AD、BC的中点G、H,而D′点是AB上任意一点（动点），作射线D′G和射线D′H，分别交DC所在的直线于E、F，易证△DGE≌AGD′,△HBD′≌△HCF, 这样平行四边形ABCD就可以拼成一个三角形（△EFD′）．
当点D′在AB上移动时，产生的△EFD′也在变化，所以也就产生无数个三角形△EFD′也就有无数种剪拼方法．
图３ 图４
图５ 图６
1.2.1当点D′在AB上运动到图4位置时，△EFD′为锐角三角形．
1.2.2当点D′在AB上运动到图5位置时，△EFD′为直角三角形．
1.2.3当点D′在AB上运动到图6位置时，△EFD′为等腰(钝角)三角形．
1.2.4当点D′在AB上运动时，△EFD′能否为等边三角形？若不能什么条件下能？
1.３同样以动态的观点看问题，又有以下方法：
该方法实际上是1.1方法的一般化．
利用剪拼后“面积不变”Ｓ=ah＝
a（2h）还可以有如图７作法．D′点是AB上任意一点（动点），过D′点作D′A′平行且等于DA，易证△EAD≌ED′A′,△FA′D′≌△FCB, 这样平行四边形ABCD就可以拼成一个三角形（△DCA′）．
当点D′在AB上移动时，产生的△DCA′也在变化，所以也就产生无数个三角形△DCA′也就有无数种剪拼方法．
同理，也可以将动点D′选在BC(或AD)上，方法原理同上面一样．
图７
２．平行四边形剪拼成一个特殊四边形．
2.1平行四边形剪拼成长方形．
如图8,过A点作AF⊥DC与F．易证Rt△ADF≌Rt△BCE,将△ADF剪下平移到△BCE的位置就拼成了长方形．
图８
2.2平行四边形剪拼成正方形．
平行四边形剪拼成正方形的过程较复杂，要先将平行四边形拼成长方形，再把长方形拼成正方形．下面通过图像来说明怎么把长方形剪拼成正方形的方法．
用“面积不变”的思路，我们可以将给定的矩形剪拼成正方形，如图９所示．请大家探讨有没有更好的方法．
2.3平行四边形剪拼成梯形．
同样以动态的观点看问题，有下述方法．
用“面积不变”的思路平行四边形变梯形的方法．如图10所示．
点E为BC的中点，F为AB上一动点（Ｆ不与A、B两点重合，思考为什么？），易证△FBE≌△GCE,将△FBE剪下使它和△GCE重合即拼成了梯形．（因为是动态的所以有无数种剪拼成梯形的方法．）
2.3.1当F点移动到A点位置时可拼成为三角形即1.1的情况．
2.3.2当F点移动到图11位置时可拼成为直角梯形．
2.3.3当F点移动到图12位置时可拼成为等腰梯形．
2.3.4如图13，另外以点E为AB的中点，G为BC上一动点，G在BC上运动（不包括B、C两点），原理同上也可以剪拼梯形．因为G在BC上运动，所以有无数种剪拼成梯形的方法．特别的当Ｇ运动到图13位置时，能剪拼成直角梯形．
2.４平行四边形剪拼成任意四边形．
如图14，在平行四边形ABCD的AC边上任取一点E（或者说点E是AC上一动点）,过Ｅ点作AB的平行线，交BD于点F．在线段EF上任取两点G、H（或者说点G、H是线段EF上两个动点，不能到点E、点F的位置）．分别过G、H作AC的平行线，交CD于K,交AB于L，作H点关于AB的反射点H′, 作G点关于CD的反射点G′,易证图中的相关三角形全等，从而得以剪拼成功．（因为是动态的所以有无数种剪拼成梯形的方法．）
3．任意四边形剪拼成平行四边形的方法．
将2.4的过程反过来则就成了将任意四边形剪拼成平行四边形的方法了．
４．任意四边形剪拼成长方形的方法．
只需要图14中，GG′⊥EF, HH′⊥EF剪拼的结果就是矩形．
５．梯形的剪拼．
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