2012中考数学热点知识归纳 91

2012-06-13 09:11:59 2012中考数学

这道中考题的解法真多

湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 赵国瑞

2010年湖北省武汉市中考题第24题:

 

已知:线段OAOB,点COB中点,D为线段OA上一点.连结ACBD交于点P

 

(1)如图1,当OA=OB,且DOA中点时,求的值;

 

(2)如图2,当OA=OB,且时,求tan∠BPC的值.

 

(3)如图3,当ADAOOB=1∶n中考资源网( www.zk5u.com),专注初中教育,服务一线教师。时,直接写出tan∠BPC的值.

       

 图1                       图2                        图3

分析:(1)要求的值,联想到平行线分线段成比例定理

平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线),所构成的三角形与原三角形相似(当然,由于已知条件中有中点这个条件,还可以联想到三角形中位线定理,或者三角形的面积),因此应设法构造平行线.

          

 

      图4                 图5               图6               图7 

             

              图8        图9                    图10

             

              图11                       图12                  图13

 

思路一:构造中位线

 

解法1连结ABCD,如图4,则CD是△AOB的中位线.

 

CDAB,且CD=AB.∴△CPD∽△APB

 

=

=2.

 

思路二:构造平行线

 

解法2过点CCMBDAOM,如图5.

 

COB中点,由平行线分线段成比例定理,得DM=MO=

 

DOA中点,且DM=MO,∴AD=2DM,即==2.

 

解法3过点CCMAOBDM,如图6.

 

解法4过点DDMBOACM,如图7.

 

解法5过点DDMACBOM,如图8.

 

解法6过点OOMBDAC的延长线于M,如图9.

 

解法7过点OOMACBD的延长线于M,如图10.

 

解法8过点AAMBOBD的延长线于M,如图11.

 

解法9过点BBMAOAC的延长线于M,如图12.

 

(解法3至解法9的过程留给同学们自己完成)

 

思路三:利用面积

 

解法10连结OP,如图13.

 

∵点COB中点,DOA中点,∴SBCP=SOCPSADP=SODP

 

OA=OBOAOB,∴SAOC=SBOD

 

SAOC-S四边形ODPC=SBOD-

S四边形ODPC,即SBCP=SADP

 

SBCP=SOCP=SADP=SODP

 

==2.

 

(2)

要求tanBPC的值,注意到∠BPC及其对顶角所在的三角形不是直角三角形,且在两个直角三角形中也无法找到与∠BPC相等的角,因此需要以∠BPC为内角构造直角三角形.另外,为了找出所构造的直角三角形中两直角边的关系,仍然需要作出问题(1)中的辅助线.

 

解法1

过点CCEBDE,过点DDMBOACM,如图14,则

 

AD=k(k>0),则AO=4k=OBDO=AO-AD=4k-k=3k

 

COB中点,∴BC=CO=2k

 

在Rt△BOD中,由勾股定理,得BD===5

k

 

DMBO,∴.∴BP=4k

 

易证△BEC∽△BOD,∴,即

 

                            

                         图14

 

CE=1.2kBE=1.6k.∴EP=BP-BE=4k-1.6k=2.4k

 

∴tan∠BPC=

 

事实上,过点CCEBDE后,再作一条与图5~图12中的任何一个图形一样的辅助线,都可以得到一种解法,这样我们就可以得到8种解法.而且在解题过程中,我们又发现了一种比较简捷的方法.

 

如解法1中,由BD=5k,得PD=k.而AD=k,于是PD=AD,∠BPC=∠APD=∠A.从而tan∠BPC=tanA=.这是我们在按照常规方法解题的过程中,由于发现线段的相等关系而得到的简捷求法,这是意外的收获

 

因此我们也可以只作一条辅助线,辅助线的作法同图5~图12中的任何一个图形的辅助线作法一样,于是我们又得到问题(2)的8种求法.

 

(3)ADAOOB=1n中考资源网( www.zk5u.com),专注初中教育,服务一线教师。时,在tan

BPC的值时,我们仍然可以像解决问题(2)那样,通过作辅助线求出tanBPC的值,但由于已知线段间的数量关系以字母比值的形式给出,这给问题的求解带来极大的不便,而且题目要求直接写出tanBPC的值,问题(2)也已经求出了tanBPC的值因此我们应该设法将问题(3)与问题(2)联系在一起.问题(2)中的tanBPC值是在“OA=OB,且”这个条件下得到的,要想求出ADAOOB=1∶n中考资源网( www.zk5u.com),专注初中教育,服务一线教师。tanBPC的值,就要设法将条件“OA=OB,且”与与“OA=OB,且”发生联系.通过观察不难发现,当n=4时,中考资源网( www.zk5u.com),专注初中教育,服务一线教师。=4,此时ADAOOB=1∶44,正好满足“OA=OB,且”,因此当n=4时,必然有tanBPC=.而tanBPC==且当n=4时,=2,因此我们有理由猜测:ADAOOB=1n中考资源网( www.zk5u.com),专注初中教育,服务一线教师。时,tanBPC=

 

评注:本题是一道考查平行线分线段成比例、三角形相似、勾股定理及三角函数的综合题,由三个小题组成,这三个小题的难度呈梯度上升,是一道典型的“递进型”中考题.

 

其中问题(1)中的解法1是根据已知条件中有两个中点,从而想到三角形的中位线定理而作的辅助线,是问题(1)的最简捷解法.解法10也是根据中点想到的辅助线作法.而解法2至解法9是为了利用平行线分线段成比例或构造相似三角形而作的辅助线,其中图5、图6、图7和图8(所作的辅助线没有与已知线段的延长线相交)解答问题(1)常见的辅助线作法.

 

在解答问题(2)时,因为∠BPC及其对顶角所在的三角形都是非直角三角形,而且从已知条件中我们无法再找出与∠BPC相等的角,为了求出tan∠BPC的值,我们应该首当其充地构造∠BPC所在的直角三角形,于是过点CCEBDE,至于过其它点作另一条辅助线,一是为了求出线段PDBP的比值,从而顺利找出所构造的直角三角形中两直角边的关系,另外这也是由“递进型”中考题的特点(下一题要充分用到上一题的结论或解题思路)决定的.在求解过程中,我们发现PD=AD,于是∠BPC=∠APD=∠A,而∠A在直角三角形中,且正切值容易求出,于是把求tan∠

BPC转化为tanA,因此解答问题(2)只需作出与问题(1)类似的辅助线,而无需构造直角三角形,这也是我们在按照正常思路求tan∠BPC的过程中发现的巧妙解法.

 

问题(3)的设置比较巧妙,解答时要注意让条件“ADAOOB=1∶n中考资源网( www.zk5u.com),专注初中教育,服务一线教师。”与问题(2)中的条件“OA=OB,且”发生联系,并根据问题(2)中结论猜想出问题(3)中的结论,我想这也是命题者的意图吧!




中考政策 中考状元 中考饮食 中考备考辅导 中考复习资料
分享

热门关注

初一上册数学知识点是什么

初一上册数学知识点

初一下期有哪些数学知识点

初一下期数学知识点

初中有哪些学习数学的方法

初中学习数学方法

初一上册数学知识点总结

初一上册数学

考试作文写作技巧指导

作文考试写作技巧

2020中考数学:重点知识解题窍门

中考数学

初二数学下册重点知识归纳

初二重点知识

初一数学下册重点知识归纳

数学重点知识

初二数学上册重点知识归纳

数学重点知识

初一数学上册重点知识归纳

数学重点知识