复合函数

　　复合函数的求导法则同学们清楚吗，如果不清楚，快来小编这里瞧瞧。下面是由出国留学网小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　复合函数求导法则有哪些呢

　　Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′

　　例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,

　　y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)

　　=(3x^2)/Ln(x^3)]

　　例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3

　　由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3

　　拓展阅读：求导公式运算法则是什么

　　运算法则是：加(减)法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

　　导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。求导运算法则是：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。

　　一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

　　不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。

　　对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数(简称导数)。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

　　复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。下面是由出国留学网小编为大家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　复合函数导数公式

　　.常用导数公式

　　1.y=c(c为常数) y'=0

　　2.y=x^n y'=nx^(n-1)

　　3.y=a^x y'=a^xlna

　　y=e^x y'=e^x

　　4.y=logax y'=logae/x

　　y=lnx y'=1/x

　　5.y=sinx y'=cosx

　　6.y=cosx y'=-sinx

　　7.y=tanx y'=1/cos^2x

　　8.y=cotx y'=-1/sin^2x

　　9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

　　10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

　　11.y=arctanx y'=1/1+x^2

　　12.y=arccotx y'=-1/1+x^2

　　在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

　　1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』

　　2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

　　3.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'

　　证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。

　　2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

　　3.y=a^x,

　　⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)

　　⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x

　　如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β)。

　　所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

　　显然，当⊿x→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

　　把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。

　　可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。

　　4.y=logax

　　⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x

　　⊿y/⊿x=l...

　　复合函数的求导公式有哪些呢?想来绝大部分的人都不知道，为了满足大家的好奇心。下面是由出国留学网小编为大家整理的“复合函数求导公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　复合函数求导公式有哪些

　　链式法则(英文chain rule)是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x，g(x)=3x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g′(f(x))=9。要注意f(x)的自变量x与g(x)的自变量x之间并不等同。

　　链式法则(chain rule)

　　若h(a)=f[g(x)]

　　则h'(a)=f'[g(x)]g'(x)

　　链式法则用文字描述，就是"由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里函数代入外函数的值之导数，乘以里边函数的导数。"

　　拓展阅读：复合函数的奇偶性

　　复合函数中只要有偶函数则复合函数为偶函数，如一奇一偶为偶;

　　若只有奇函数则复合函数为奇函数，无论奇数个还是偶数个，如两奇仍为奇。

　　1、f(x)*g(x)*h(x)这种相乘的复合函数。

　　奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。

　　奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。

　　2、f(g(h(x)))这种多层的复合函数。

　　函数中的有偶数，复合函数就是偶函数。

　　函数中的没有偶数，奇函数的个数是偶数，复合函数就是偶函数。

　　函数中的没有偶数，奇函数的个数是奇数，复合函数就是奇函数。

　　复合函数的单调性的判断方法

　　复合函数单调性就2句话：

　　2个函数(或多个)都递增或者都递减那么复合函数就是单调递增函数

　　2个函数一个递增一个递减那么复合函数就是单调递减函数

　　简单记法：负负得正,正在得正,负正得负

　　复合函数定义域的含义和求法是什么？不知道的小伙伴看过来，下面由出国留学网小编为你精心准备了“复合函数定义域的含义及求法”仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯!

复合函数定义域的含义

　　若函数=()的定义域是B,=()的定义域是A,则复合函数=[()]的定义域是

　　D={|∈A,且()∈B}综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

　　求函数的定义域主要应考虑以下几点:

　　⑴当为整式或奇次根式时，R;

　　⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0);

　　⑶当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0;

　　⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0(如，中)。

　　⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

　　⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

　　⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求

　　⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

　　⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

　　⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

　　复合函数定义域的求法

　　复合函数定义域

　　若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

　　求函数的定义域主要应考虑以下几点：

　　⑴当为整式或奇次根式时，R的值域;

　　⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0(即≥0);

　　⑶当为分式时，分母不为0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0;

　　⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0。

　　⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。

　　⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。

　　⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求

　　⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。

　　⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。

　　⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

　　复合函数常见题型

　　(ⅰ)已知f(x)定义域为A，求f[g(x)]的定义域：实质是已知g(x)的范围为A，以此求出x的范围。

　　(ⅱ)已知f[g(x)]定义域为B，求f(x)的定义域：实质是已知x的范围为B，以此求出g(x)的范围。

　　(ⅲ)已知f[g(x)]定义...

　　复合函数也是高考数学压轴题常考的内容，让我们一起来练练手吧！更多高考资讯请关注我们网站的更新!

　　高考数学常考压轴题：复合函数

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