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均值不等式的推导过程有哪些

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  均值不等式是数学中的一个重要公式。也是十分常见的一个考点。下面是由出国留学网编辑为大家整理的“均值不等式的推导过程有哪些”,仅供参考,欢迎大家阅读本文。

  公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。

  1、调和平均数:Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

  2、几何平均数:Gn=(a1a2...an)^(1/n)

  3、算术平均数:An=(a1+a2+...+an)/n

  4、平方平均数:Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n

  这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

  推导过程

  关于均值不等式的证明方法有很多,数学归纳法(第一数学归纳法或反向归纳法)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等,都可以证明均值不等式,在这里简要介绍数学归纳法的证明方法:

  (注:在此证明的,是对n维形式的均值不等式的证明方法。)

  用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。

1

  引理:设A≥0,B≥0,则,且仅当B=0时取等号。

  注:引理的正确性较明显,条件A≥0,B≥0可以弱化为A≥0,A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)(或用二项展开公式更为简便)。

  原题等价于:

2
3

  当且仅当4

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