奇偶性

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　　2019国考行测数量关系辅导：奇偶性解不定方程

　　随便给一个数，判断是奇数偶数，只要看尾数就可以，这确实是非常小儿科的数学问题；随便给两三个数，进行简单的加减乘除四则运算，判断结果是奇数偶数，相信这也难不倒聪明的你们。不定方程，即未知数个数多于方程个数的情况。不定方程有无数组解，因此在行测考试中，需要根据条件判定合适的一组解，找到正确的答案成为很多同学很为难的一个问题。今天就来谈一谈如何化腐朽为神奇，通过简单的奇偶性来解决难解的不定方程问题。

　　先一起来看一道基础题：

　　【例1】两个盒子里都有糖果，一个盒子里的糖果数是奇数，另一个盒子里的糖果数是偶数。如果右边盒子里的糖果数乘3，左边盒子里的糖果数乘2，然后把两个数加起来，和是49。猜一猜那个盒子里的糖果数是奇数？

　　A.左边 B.右边 C.左右边都是 D.无法确定

　　【解析】题干中明确表示“一个盒子里的糖果数是奇数，另一个盒子里的糖果数是偶数”，所以排除C选项。并且通过读题我们能发现很明显的一个等量关系：

　　右边盒子里的糖果数×3 + 左边盒子里的糖果数×2=49

　　但只有一个不定方程我们无法解出一组确定的解。通过读题我们发现题目考察的是奇偶性问题，那我们只需要从奇偶性入手分析即可。观察等式，结果49是一个奇数，而“左边盒子里的糖果数×2”一定是偶数。我们知道“奇数+偶数=奇数”，因此可以确定“右边盒子里的糖果数×3”是一个奇数。又因为我们知道“当且仅当乘积结果为奇数时，乘数全为奇数”，所以最终我们可以确定“右边盒子里的糖果数”是一个奇数，选择B选项。

　　是不是感觉很简单，那我们再来加深一点点难度：

　　【例2】某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元，某部门所有人员共捐款320元，已知该部门总人数超过10人，问该部门可能有几名部门领导？

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　【解析】通过读题我们可以找到这样一组等量关系：

　　领导人数×50 + 员工人数×20 = 320

　　等式两边分别除以10化简得到：

　　领导人数×5 + 员工人数×2 = 32

　　根据这样一个不等式我们还是从奇偶性开始分析：和32是偶数，“员工人数×2”一定是偶数，因为“偶数+偶数=偶数”，所以我们确定“领导人数×5”是偶数。又因为“当且仅当乘积结果为偶数时，乘数至少有一个是偶数”可知“领导人数”一定是偶数。因此可以排除A、C选项。

　　接着B、D两个选项怎么确定答案？代入排除啊So easy！代入D选项，若领导人数=4，解得员工人数=6，部门总人数=4+6=10，不满足题目要求“已知该部门总人数超过10人”，最终确定选择B选项。

　　简单的奇偶性结合最简单粗暴的代入排除，我们又解决了一道看似无从下手的问题，是不是已经感觉自己的视野都开阔了好多？别着急，咱们再来一道有点难度的：

　　【例3】某班部分学生参加数学竞赛，每张试卷有50道试题。评分标准是：答对一道给3分，不答的每道给1分，答错一道扣1分。试问：这部分学生得分的总和是奇数还是...

　　本文“2016年成人高考高起点数学公式：函数奇偶性公式”由出国留学网成人高考网整理而出，希望考生们喜欢！

　　验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。

　　奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数(减函数)，则在区间[-b，- a]上也是增函数(减函数);偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数(减函数)，则在区间[-b，-a]上是减函数(增函数)。但由单调性不能倒推其奇偶性。

　　一般地，对于函数f(x)

　　⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x)就叫做偶函数。关于y轴对称，f(-x)=f(x)。

　　⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x)就叫做奇函数。关于原点对称，-f(x)=f(-x)。

　　⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)和f(-x)=-f(x)，(x∈R，且R关于原点对称.)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

　　⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a)≠f(-a)，存在一个b，使得f(-b)≠-f(b)，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

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　　2017国家公务员考试行测计算题中的奇偶性运用

　　比如数的奇偶性，能够帮助我们迅速地排除错误答案，锁定正确答案。在数的奇偶性中，重点是掌握数的奇偶性的性质：

　　性质1：偶数±偶数=偶数;奇数±奇数=偶数;偶数±奇数=奇数 (和差同奇偶)

　　性质2：偶数×偶数=偶数;奇数×奇数=奇数;偶数×奇数=偶数 (有偶则为偶)

　　下面我们通过几道例题来体会一下数的奇偶性在运算过程中如何运用：

　　例1.一个人到书店买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位数上的数字和十位上的看反了，准备付21元取货。售货员说：“您应该付39元才对。”请问书比杂志贵多少元钱?

　　A、20 B、21 C、23 D、24

　　【解析】我们可以设书的价钱是X，杂志的价钱为Y，根据题意我们可以得到方程X+Y=39(1)，现在求X-Y的数值，我们根据加减运算中数的奇偶性可知，X、Y必然是一奇一偶，并且和差同奇偶，我们知道X-Y的结果必然也是奇数，这时我们可以排除选项A、D，只剩下了B、C选项，我们可以代入选项B，即X-Y=21(2)，有(1)和(2)两式联立可以解得X=30，Y=9，同时题中告诉我们书的定价中的个位数和十位数上的看反了，即30看成了03，并且与杂志的定价为21元，显然这组解不符合题意，故排除，只剩下了选项C为正确答案。

　　这道题是典型的已知两数之和，求两数之差的问题，方程很容易列出，但并不容易求解，这时我们借助数的奇偶性，能够快速的解出答案。

　　例2.某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月共培训1290人次。问甲教室当月共举办了多少次这项培训?

　　A.8 B.10 C.12 D.15

　　【解析】我们可以设甲教室举办X次，乙教室举办Y次，根据题意我们可以得到二元一次方程50X+45Y=1290(1)，X+Y=27(2)，同样根据数的奇偶性，在(1)式中50X为偶数，1290也为偶数，那么45Y也必须为偶数，则Y必然为偶数，再根据(2)式我们知道X必然为奇数，则直接选择答案D。

　　这道例题是数的奇偶性在二元一次方程中的体现，它能够减少计算量，快速锁定答案。

　　希望通过以上例子的解析，能够让大家掌握数的奇偶性，学会灵活运用数的奇偶性，并与其他的思想结合起来，帮助我们快速解题，为考生在考场上赢得宝贵时间。

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　　指数函数

　　(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

　　(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

　　(3)函数图形都是下凹的。

　　(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

　　(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

　　(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

　　(7)函数总是通过(0，1)这点。

　　(8)显然指数函数无界。

　　奇偶性

　　注图：(1)为奇函数(2)为偶函数

　　定义

　　一般地，对于函数f(x)

　　(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

　　(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

　　(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

　　(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

　　说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

　　②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。

　　(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

　　③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

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