2020考研数学：高数这些定理需牢记(一)

　　对于考研数学来说，高数部分很重要，要想拿分，必须把一些定理记牢。为此，出国留学网整理了“2020考研数学：高数这些定理需牢记（一）”的文章，希望对大家有所帮助。

　　2020考研数学：高数这些定理需牢记（一）

　　以下是2020考研数学：高数这些定理需牢记（一）的具体内容：

　　一、函数与极限

　　一、函数的有界性在定义域内有f（x）≥K1则函数f（x）在定义域上有下界，K1为下界；如果有f（x）≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f（x）在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

　　二、数列的极限定理（极限的唯一性）数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

　　定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

　　如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

　　定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

　　三、函数的极限函数极限的定义

　　定理（极限的局部保号性）如果lim（x→x0）时f（x）=A，而且A>0（或A0（或f（x）>0），反之也成立。

　　函数f（x）当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f（x0-0）=f（x0+0），若不相等则limf（x）不存在。

　　一般的说，如果lim（x→∞）f（x）=c，则直线y=c是函数y=f（x）的图形水平渐近线。如果lim（x→x0）f（x）=∞，则直线x=x0是函数y=f（x）图形的铅直渐近线。

　　四、极限运算法则定理

       有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1（x）≥F2（x），而limF1（x）=a，limF2（x）=b，那么a≥b.

　　五、极限存在准则

       两个重要极限lim（x→0）（sinx/x）=1；lim（x→∞）（1+1/x）x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

　　单调有界数列必有极限。

　　六、函数的连续性

设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f（x）当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f（x0），即lim（x→x0）f（x）=f（x0），那么就称函数f（x）在点x0处连续。

　　不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim（x→x0）f（x）不存在；3、虽在x=x0有定义且lim（x→x0）f（x）存在，但lim（x→x0）f（x）≠f（x0）时则称函数在x0处不连续或间断。

　　如果x0是函数f（x）的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f（x）的第一类间断点（左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点）。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点（无穷间断点和震荡间断点）。

　　定理有限个在某点连续的函数的和、积、商（分母不为0）是个在该点连续的函数。

　　定理如果函数f（x）在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f（y）在对应的区间Iy={y|y=f（x），x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。

　　定理（最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。

　　定理（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f（x）≤M.定理（零点定理）设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号（即f（a）×f（b）

　　推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。

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