数学高数

　　即将在今年年底十二月考试的考研人们，大家在复习备考的过程中面对数学，是否有感觉到无从下手的无力感呢？下面的内容是出国留学网小编为大家带来的2023年考研数学高数必考知识点内容分析合集，大家一起来看看吧！

　　一、函数极限连续

　　1、正确理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，理解复合函数、反函数及隐函数的概念。

　　2、理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左右极限之间的关系。掌握利用两个重要极限求极限的方法。理解无穷小、无穷大以及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限。

　　3、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最.大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。

　　重点是数列极限与函数极限的概念，两个重要的极限：lim（sinx/x）=1，lim（1+1/x）=e，连续函数的概念及闭区间上连续函数的性质。难点是分段函，复合函数，极限的概念及用定义证明极限的等式。

　　二、一元函数微分学

　　1、理解导数和微分的概念，导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程，理解函数可导性与连续性之间的关系。

　　2、掌握导数的四则运算法则和一阶微分的形式不变性。了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数，分段函数的一阶、二阶导数。会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数及反函数的导数。

　　3、理解并会用罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，了解并会用柯西中值定理。

　　4、理解函数极值的概念，掌握函数最.大值和最小值的求法及简单应用，会用导数判断函数的凹凸性和拐点，会求函数图形水平铅直和斜渐近线。

　　5、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径及两曲线的交角。

　　6、掌握用罗必塔法则求未定式极限的方法，重点是导数和微分的概念，平面曲线的切线和法线方程函数的可导性与连续性之间的关系，一阶微分形式的不变性，分段函数的导数。

　　罗必塔法则函数的极值和最.大值、最小值的概念及其求法，函数的凹凸性判别和拐点的求法。难点是复合函数的求导法则隐函数以及参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的计算。

　　三、一元函数积分学

　　1、理解原函数和不定积分和定积分的概念。

　　2、掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法和分部积分法。

　　3、会求有理函数、三角函数和简单无理函数的积分。

　　4、理解变上限积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼兹公式。

　　5、了解广义积分的概念并会计算广义积分。

　　6、掌握用定积分计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力等）。

　　重点是原函数与不定积分的概念及性质，基本积分公式及积分的换元法和分部积分法，定积分的性质、计算及应用。难点是第二类换元积分法，分部积分法。积分上限的函数及其导数，定积分元素法及定积分的应用。

　　四、向量代数与空间解析几何

　　1、理解向量的概念及其表示。

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　　2021考研数学高数备考冲刺：16种求极限的方法

　　1、极限分为一般极限，还有个数列极限

　　（区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种）。

　　2、解决极限的方法如下

　　1）等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记。（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

　　2）洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

　　首先他的使用有严格的使用前提。必须是X趋近而不是N趋近。（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x），没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条）必须是0比0，无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。

　　洛必达法则分为三种情况

　　1）0比0无穷比无穷时候直接用

　　2）0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

　　3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方

　　对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，ln（x）两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候ln（x）趋近于0）

　　3、泰勒公式

　　（含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！）e^x展开，sinx展开，cos展开，ln（1+x）展开对题目简化有很好帮助

　　4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

　　取大头原则最大项除分子分母！看上去复杂处理很简单。

　　5、无穷小与有界函数的处理办法

　　面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！

　　6、夹逼定理

　　（主要对付的是数列极限）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

　　7、等比等差数列公式应用

　　（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

　　8、各项的拆分相加

　　（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数。

　　9、求左右求极限的方式

　　（对付...

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　　2021考研数学高数重要定理：函数与极限

　　函数与极限

　　1、函数的有界性在定义域内有f（x）&geK1则函数f（x）在定义域上有下界，K1为下界如果有f（x）&leK2，则有上界，K2称为上界。函数f（x）在定义域内有界的充分要条件是在定义域内既有上界又有下界。

　　2、数列的极限定理（极限的性）数列xn不能同时收敛于两个不同的极限。

　　定理（收敛数列的有界性）如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界。

　　如果数列xn无界，那么数列xn一定发散但如果数列xn有界，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的要条件而不是充分条件。

　　定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列xn收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列x2k-1收敛于1，xnk收敛于-1，xn却是发散的同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

　　3、函数的极限函数极限的定义中

　　定理（极限的局部保号性）如果lim（x&rarrx0）时f（x）=A，而且A>0（或A0（或f（x）>0），反之也成立。

　　函数f（x）当x&rarrx0时极限存在的充分要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f（x0-0）=f（x0+0），若不相等则limf（x）不存在。

　　一般的说，如果lim（x&rarr&infin）f（x）=c，则直线y=c是函数y=f（x）的图形水平渐近线。如果lim（x&rarrx0）f（x）=&infin，则直线x=x0是函数y=f（x）图形的铅直渐近线。

　　4、极限运算法则定理：有限个无穷小之和也是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小定理如果F1（x）&geF2（x），而limF1（x）=a，limF2（x）=b，那么a&geb.

　　5、极限存在准则：两个重要极限lim（x&rarr0）（sinx/x）=1lim（x&rarr&infin）（1+1/x）x=1.夹逼准则如果数列xn、yn、zn满足下列条件：yn&lexn&lezn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

　　单调有界数列有极限。

　　6、函数的连续性：设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f（x）当x&rarrx0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f（x0），即lim（x&rarrx0）f（x）=f（x0），那么就称函数f（x）在点x0处连续。

　　不连续情形：1、在点x=x0没有定义2、虽在x=x0有定义但lim（x&rarrx0...

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　　2021考研数学高数备考知识点：函数的定义

　　1.定义（传统）：

　　如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

　　2.构成函数的三要素：

　　定义域，值域，对应法则。

　　值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。

　　3.对函数概念的理解：

　　函数三要素

　　（1）核心–；–；对应法则等式y=f（x）表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y.因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径。是联系x与y的纽带，从而是函数的核心。对于比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数的对应法则f也可以采用其他方式（如图表或图象等）。

　　（2）定义域定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数。在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的。如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合。在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题。

　　（3）值域值域是全体函数值所组成的集合。在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定。因此，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数。同一函数概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。

　　（4）关于函数符号y=f（x）

　　1°、y=f（x）即“y是x的函数”这句话的数学表示。仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”。f（x）也不一定是解析式。

　　2°、f（x）与f（a）的区别：f（x）是x的函数，在通常情况下，它是一个变量。f（a）表示自变量x=a时所得的函数值，它是一个常量即是一个数值。f（a）是f（x）的一个当x=a时的特殊值。

　　3°、如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同，那么它们仍然是同一个函数，但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同，那么它们就不是同一个函数。

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　　2021考研数学高数备考复习知识点：中值定理与导数的应用

　　1、定理（罗尔定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f（a）=f（b），那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a

　　2、定理（拉格朗日中值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a

　　3、定理（柯西中值定理）如果函数f（x）及F（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且F’（x）在（a，b）内的每一点处均不为零，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使的等式[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f’（ξ）/F’（ξ）成立。

　　4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。

　　5、函数单调性的判定法设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么：（1）如果在（a，b）内f’（x）>0，那么函数f（x）在[a，b]上单调增加；（2）如果在（a，b）内f’（x）

　　如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’（x）=0的根及f’（x）不存在的点来划分函数f（x）的定义区间，就能保证f’（x）在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f（x）在每个部分区间上单调。

　　6、函数的极值如果函数f（x）在区间（a，b）内有定义，x0是（a，b）内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f（x）f（x0）均成立，就称f（x0）是函数f（x）的一个极小值。

　　在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点（导数为0的点），但函数的驻点却不一定是极值点。

　　定理（函数取得极值的必要条件）设函数f（x）在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’（x0）=0.定理（函数取得极值的第一种充分条件）设函数f（x）在x0一个邻域内可导，且f’（x0）=0，那么：（1）如果当x取x0左侧临近的值时，f’（x）恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f’（x）恒为负，那么函数f（x）在x0处取得极大值；（2）如果当x取x0左侧临近的值时，f’（x）恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f’（x）恒为正，那么函数f（x）在x0处取得极小值；（3）如果当x取x0左右两侧临近的值时，f’（x）恒为正或恒为负，那么函数f（x）在x0处没有极值。

　　定理（函数取得极值的第二种充分条件）设函数f（x）在x0处具有二阶导数且f’（x0）=0，f’’（x0）≠0那么：（1）当f’’（x0）0时，函数f（x）在x0处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。

　　7、函数的凹凸性及其判定设f（x）在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[（x1+x2）/2][f（x1）+f（x1）]/2，那么称f（x）...

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　　2021考研数学高数基础知识点：元函数微分法及其应用

　　1、多元函数存在的条件存在是指P（x，y）以任何方式趋于P0（x0，y0）时，函数都接近于A，如果P（x，y）以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0（x0，y0）时，即使函数接近某一确定值，我们还不能由此断定函数存在。反过来，如果当P（x，y）以不同方式趋于P0（x0，y0）时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的不存在。例如函数：f（x，y）={0（xy）/（x^2+y^2）x^2+y^2≠0

　　2、多元函数的连续性定义设函数f（x，y）在开区域（或闭区域）D内有定义，P0（x0，y0）是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim（x→x0，y→y0）f（x，y）=f（x0，y0）则称f（x，y）在点P0（x0，y0）连续。

　　性质（最 大值和最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。

　　性质（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

　　3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f（P）趋于f（P0），但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f（P）都趋于f（P0）。

　　4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。

　　5、多元函数可微的充分条件定理（充分条件）如果函数z=f（x，y）的偏导数存在且在点（x，y）连续，则函数在该点可微分。

　　6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理（必要条件）设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）具有偏导数，且在点（x0，y0）处有极值，则它在该点的偏导数必为零。

　　定理（充分条件）设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，令fxx（x0，y0）=0=A，fxy（x0，y0）=B，fyy（x0，y0）=C，则f（x，y）在点（x0，y0）处是否取得极值的条件如下：（1）AC-B2>0时具有极值，且当A0时有极小值；（2）AC-B2

　　7、多元函数极值存在的解法（1）解方程组fx（x，y）=0，fy（x，y）=0求的一切实数解，即可求得一切驻点。

　　（2）对于每一个驻点（x0，y0），求出二阶偏导数的值A、B、C.（3）定出AC-B2的符号，按充分条件进行判定f（x0，y0）是否是极大值、极小值。

　　注意：在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑在内。

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　　2021考研数学高数基础知识点：分段函数

　　分段函数：

　　1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的；

　　分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。

　　2、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。

　　3、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。

　　4、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。

　　抽象函数：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数；

　　一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x>0，y>0）。

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　　2021考研数学高数知识难点解析

　　高数是考研数学的重点，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。为了帮助提高大家高效复习，帮帮为大家梳理了考研数学的几个难点，希望大家不要盲目复习。

　　1.函数、极限与连续。求分段函数的复合函数求极限或已知极限确定原式中的常数讨论函数的连续性，判断间断点的类型无穷小阶的比较讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。这一部分更多的会以选择题，填空题，或者作为构成大题的一个部件来考核，复习的关键是要对这些概念有本质的理解，在此基础上找习题强化。

　　2.一元函数微分学。求给定函数的导数与微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论利用洛比达法则求不定式极限讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，此类问题证明经常需要构造辅助函数几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

　　3.一元函数积分学。计算题：计算不定积分、定积分及广义积分关于变上限积分的题：如求导、求极限等有关积分中值定理和积分性质的证明题定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等综合性试题。这一部分主要以计算应用题出现，只需多加练习即可。

　　4.向量代数和空间解析几何。计算题：求向量的数量积，向量积及混合积求直线方程，平面方程判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角建立旋转面的方程与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。这一部分的难度在考研数学中应该是相对简单的，找辅导书上的习题练习，需要做到快速正确的求解。

　　5.多元函数的积分学。二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序第一型曲线积分、曲面积分计算第二型（对坐标）曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用第二型（对坐标）曲面积分的计算，高斯公式及其应用梯度、散度、旋度的综合计算重积分，线面积分应用求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。

　　6.多元函数的微分学。判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续求多元函数（特别是含有抽象函数）的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数求二元、三元函数的方向导数和梯度求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，在复习时要引起注意，可以找一些题目做做，找找这类题目的感觉。