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考研数学随机变量复习
让我们思考一个问题：用什么方式去描述随机变量?随机变量有两个要素：取值和取值对应的概率。而分布是描述随机变量的方式。分布包括三种：分布函数，分布律和概率密度。为什么要有三种，这么麻烦，一种多简单?这就像现金可以完成支付，为什么还会有公交卡?因为我们坐公交时刷卡更方便些。分布函数确实可以描述所有随机变量，但对于离散型随机变量，用分布律描述较为方便;对于连续型随机变量，用概率密度描述较为方便。
分布函数是描述随机变量的通用方式。对于随机变量X，我们称F(x)=P{X<=x}，(x属于R)为其分布函数。关于分布函数，前文我们讨论过一种理解角度，此外，我们还可以从以下几个角度理解。
1.F(x)=P{X<=x}= P{X属于(负无穷，x]}，意味着X的分布函数F(x)是随机变量X落入区间(负无穷，x]的概率。
2.对于上面用掷硬币这个随机试验定义的随机变量X，大家动手写一下它的分布函数，不难得到如下结果：当x<0时，F(x)=0;当0==1时，F(x)=1。我们看一下F(x)的三个函数值是如何得到的：当x<0时，X在x以左没有取值，所以概率为0，进而F(x)的函数值为0;当0==1时，X的取值0和1在此范围内，所以分布函数把0和1对应的概率含进去，F(x)的函数值为1/2+1/2=1。通过以上分析过程，我们可以得到，离散型随机变量的分布函数可以理解成“概率的累加”，累加的是X落入区间(负无穷，x]的概率。另外，大家动手画一下F(x)的图像，观察其形状，会发现它是一个阶梯形函数。那么是否所有离散型随机变量的分布函数都是阶梯形函数呢?是。大家也可以想想为什么如此?分布函数累加的是(负无穷，x]概率，在随机变量有取值的点，分布函数把该点的概率加进去，函数图像就在该点发生跳跃，跳跃的高度恰为随机变量取该点的概率;在随机变量没有取值的区间，没有概率，分布函数的函数值没有增加，函数图像为一条水平的线段(或射线)。
3.随机变量X不是高数中的函数，那么其分布函数是高数中的函数吗?是。我们观察上面写出的分布函数的表达式和图像，会发现它就是一个普通的分段函数，是高数的中的函数。
在讨论完随机变量后，我们讨论多维随机变量。
先考虑一个问题：什么叫多维随机变量。想一下，咱们在哪个地方提到过“多维”?高数中有二维平面，三维空间。线性代数中向量的维数即向量分量的个数。所谓n维随机变量，就是一个向量，该向量的每个分量是定义在同一个样本空间上的随机变量。或者理解成n个一维随机变量放在一块考虑。
我们学习多维随机变量，要和一维对比起来理解。前面提到，我们是用分布描述一个随机变量的，分布有三种：分布函数，分布律和概率密度。那么，推广一下，就得到了二维随机变量的描述方式。先看分布函数。
一维随机变量的分布函数是个一元函数F(x)，它是一维随机变量X落入到一个区间(负无穷，x]的概率;相应地，二维随机变量的分布函数应是一个二元函数F(x，y)，它是二维随机变量(X,Y)落入一个平面区域(负无穷，x]乘(负无穷，y]的概率。一维随机变量的分布函数有三条性质：“单调不减”，“0...