二次函数顶点坐标

　　根据二次函数解析式形式的不同，顶点的计算方法也不同。下面是由出国留学网编辑为大家整理的“二次函数的顶点坐标怎么求”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　二次函数的顶点坐标

　　1、解析式为y=ax²时，顶点坐标为(0，0)，抛物线关于x=0这条直线对称

　　2、解析式为y=a(x-h)²时，这时解析式的形式就为顶点式，顶点坐标为(h，0)，抛物线关于x=h这条直线对称

　　3、解析式为y=a(x-h)²+k时，这时解析式的形式就为顶点式，顶点坐标为(h，k)，抛物线关于x=h这条直线对称

　　4、解析式为y=ax²+bx+c时，这时解析式为二次函数通用式，顶点坐标为

　　(-b/2a，4ac-b²/4a)，抛物线关于x=-b/2a对称

　　推导过程

　　y=ax^2+bx+c

　　y=a(x^2+bx/a+c/a)

　　y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)

　　y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a

　　y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

　　对称轴x=-b/2a

　　顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　二次函数的三种基本形式

　　1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0);

　　2、顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k);

　　3、交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2是图象与x轴交点的横坐标。

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　　二次函数顶点坐标公式的推导过程

　　二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)

　　推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)

　　y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)

　　y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a

　　y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

　　对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　拓展阅读：二次函数的顶点表达式

　　y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k) [4] ，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大(小)值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

　　例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

　　解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。

　　注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

　　具体可分为下面几种情况：

　　当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到;

　　当h>0时，y=a(x+h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动h个单位得到;当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图像;

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动h个单位，再向下移动k个单位，就可以得到y=a(x+h)²-k的图像;

　　当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图像;

　　当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图像。

　　二次函数顶点坐标公式推导过程是怎样的呢?感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。下面是由出国留学网小编为大家整理的“二次函数顶点坐标公式推导过程”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　二次函数顶点坐标公式推导过程

　　二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0);

　　二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)。

　　推导过程：

　　y=ax^2+bx+c

　　y=a(x^2+bx/a+c/a)

　　y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)

　　y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a

　　y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

　　对称轴x=-b/2a

　　顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　拓展阅读：二次函数定义

　　一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数。

　　①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;

　　②二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，y=ax2+bx+c变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。

　　③二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。

　　二次函数的一般式公式

　　次函数一般式的形式通常为y=ax²+bx+c，又称作二次函数的解析式。

　　如果3个交点中有2个交点是二次函数与x轴的交点。

　　那么，可设这个二次函数解析式为：y=a(x-x1)(x-x2)(x1，x2是二次函数与x轴的2个交点坐标)，根据另一个点就可以求出二次函数解析式。

　　如果知道顶点坐标为(h，k)，则可设：y=a(x-h)²+k，根据另一点可求出二次函数解析式。

　　你们知道二次函数顶点坐标怎么算吗？感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。下面是由出国留学网小编为大家整理的“二次函数顶点坐标公式怎么算”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　二次函数顶点坐标公式怎么算

　　1.解析式为y=ax²时，顶点坐标为（0，0），抛物线关于x=0这条直线对称；

　　2.解析式为y=a（x-h）²时，这时解析式的形式就为顶点式，顶点坐标为（h，0），抛物线关于x=h这条直线对称；

　　3.解析式为y=a（x-h）²+k时，这时解析式的形式就为顶点式，顶点坐标为（h，k），抛物线关于x=h这条直线对称；

　　4.解析式为y=ax²+bx+c时，这时解析式为二次函数通用式，顶点坐标为（-b/2a，4ac-b²/4a），抛物线关于x=-b/2a对称。

　　拓展阅读：二次函数的性质有哪些

　　1.基本概念

　　一般地，我们把形如y=ax²+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

　　2.与X轴交点的情况当△=b²-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。

　　当△=b²-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。

　　当△=b²-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。

　　3.顶点二次函数图像有一个顶点P，坐标为P（h，k）即（-b/2a，4ac-b²/4a）

　　4.开口方向和大小二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

　　5.抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.

　　二次函数的顶点坐标公式大家熟知吗?如果不太清楚，快来小编这里瞧瞧。下面是由出国留学网小编为大家整理的“二次函数的顶点坐标公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　二次函数的顶点坐标公式

　　对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。

　　1、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).

　　2、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.

　　抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);

　　(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|

　　当△=0.图象与x轴只有一个交点;

　　当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.

　　抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。

　　拓展阅读：学好初中数学的7个方法

　　一、主动预习

　　预习的目的是主动获取新知识的过程，有助于调动学习积极主动性，新知识在未讲解之前，认真阅读教材，养成主动预习的习惯，是获得数学知识的重要手段。

　　因此，要注意培养自学能力，学会看书。如自学例题时，要弄清例题讲的什么内容，告诉了哪些条件，求什么，书上怎么解答的，为什么要这样解答，还有没有新的解法，解题步骤是怎样的。抓住这些重要问题，动脑思考，步步深入，学会运用已有的知识去独立探究新的知识。

　　二、主动思考

　　很多同学在听课的过程中，只是简简单单的听，不能主动思考，这样遇到实际问题时，会无从下手，不知如何应用所学的知识去解答问题。

　　主要原因还是听课过程中不思考惹的祸。除了我们跟着老师的思路走，还要多想想为什么要这么定义，这样解题的好处是什么，这样主动去想，不仅能让我们更加认真的听课，也能激发对某些知识的兴趣，更有助于学习。

　　靠着老师的引导，去思考解题的思路;答案真的不重要;重要的是方法!

　　三、善于总结规律

　　解答数学问题总的讲是有规律可循的。在解题时，要注意总结解题规律，在解决每一道练习题后，要注意回顾以下问题：

　　(1)本题最重要的特点是什么?

　　(2)解本题用了哪些基本知识与基本图形?

　　(3)本题你是怎样观察、联想、变换来实现转化的?

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　　一元二次函数作为高中数学的一部分可能很多人都忘记了，为了让后来的高中学子有更好的学习资源。下面是由出国留学网小编为大家整理的“一元二次函数顶点坐标公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　一元二次函数顶点坐标公式有哪些

　　二次函数顶点坐标的公式：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

　　二次函数表达式为y=ax²+bx+c(且a≠0)，其定义是一个二次多项式或单项式。

　　如果令y值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

　　拓展阅读：一元二次方程的最大值怎么求

　　ax²+bx+c(a≠0)且a<0时，有最大值，(4ac-b^2)/4a。

　　对于一元二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)来说：

　　当 x=-b/2a 时，有最值;且最值公式为：(4ac-b^2)/4a

　　当a>0时， 为最小值， 当a<0时， 为最大值。

　　一元二次函数的解析式有几种形式?

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a/=0),特点，顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　y轴上的节距，(0，c)

　　顶点式：y=a(x-m)^2+k

　　特点：直接看出顶点(m，k),

　　两点式：y=a(x-x1)(x-x2)

　　特点：直接看出二次函数与x轴的交点坐标

　　(x1,0),(x2,0)

　　有许多学生小学基础没打好，导致相应的思维能力有点弱。于是他们问一元二次函数的顶点坐标公式是怎样的？下面是由出国留学网小编为大家整理的“一元二次函数顶点坐标公式 ”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　一元二次函数顶点坐标公式

　　二次函数y = ax²+bx+c = a{x+b/(2a)}²+(4ac-b²)/(4a)

　　顶点坐标：x=-b/(2a)，y=(4ac-b²)/(4a)

　　拓展阅读：二次函数顶点坐标公式介绍

　　1、对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。

　　2、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。

　　3、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小。

　　二次函数的表达式

　　1.一般式:y=ax^2+bx+c

　　2.顶点式:y=a(x-k)^2+h,抛物线的顶点为(k,h)

　　3.交点式:y=a(x-x1)(x-x2),抛物线与x轴的交点为(x1,0)和(x2,0)

　　出国留学网为您整理“中考数学知识讲解：二次函数顶点坐标公式”，欢迎阅读参考，更多有关内容请继续关注本网站中考栏目。

　　中考数学知识讲解：二次函数顶点坐标公式

　　一、基本简介

　　一般地，我们把形如y=ax2+bx+c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

　　主要特点

　　“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。

　　二次函数图像与X轴交点的情况

　　当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。

　　当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。

　　当△=b2-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。

　　二、二次函数图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。

　　轴对称

　　二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a

　　对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

　　特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。

　　a,b同号，对称轴在y轴左侧.

　　a,b异号，对称轴在y轴右侧.

　　顶点

　　二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)即(-b/2a,(4ac-b2/4a).

　　当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k。

　　h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a。

　　开口方向和大小

　　二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

　　决定对称轴位置的因素折叠

　　一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a>0,与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

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