二次函数

　　函数对于同学们来说一直是个重难点，那么二次函数的相关知识是怎样的呢?下面是由出国留学网编辑为大家整理的“二次函数解析式怎么算 有哪些方法”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　二次函数解析式形式

　　1.一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)，则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b2)/4a)

　　2.顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)2+k(a,h,k为常数，a≠0)

　　3.交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)(又叫两点式，两根式等)

　　求二次函数解析式的方法

　　(1)条件为已知抛物线过三个已知点，用一般式：y=ax²+bx+c,分别代入成为一个三元一次方程组，解得a、b、c的值，从而得到解析式。

　　(2)已知顶点坐标及另外一点，用顶点式：y=a(x-h)²+k,点坐标代入后，成为关于a的一元一次方程，得a的值，从而得到解析式。

　　(3)已知抛物线过三个点中，其中两点在X轴上，可用交点式(两根式)：y=a(x-x₁)(x-x₂),第三点坐标代入求a，得抛物线解析式。

　　拓展阅读：二次函数的性质

　　(1)二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

　　(2)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线开口向上;当a<0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小;|a|越小，则抛物线的开口越大。

　　(3)一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧。

　　(4)常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)。

　　二次函数的顶点坐标公式是数学中一个重要的知识点，根据二次函数解析式形式的不同，顶点的计算方法也不同。下面是由出国留学网编辑为大家整理的“二次函数顶点坐标公式是什么怎么算”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　二次函数顶点坐标公式

　　顶点坐标是用来表示二次函数抛物线顶点的位置的参考指标，顶点式：y=a(x-h)²+k (a≠0，k为常数)顶点坐标：【-b/2a，(4ac-b²)/4a】。

　　顶点坐标

　　1、解析式为y=ax²时，顶点坐标为(0，0)，抛物线关于x=0这条直线对称

　　2、解析式为y=a(x-h)²时，这时解析式的形式就为顶点式，顶点坐标为(h，0)，抛物线关于x=h这条直线对称

　　3、解析式为y=a(x-h)²+k时，这时解析式的形式就为顶点式，顶点坐标为(h，k)，抛物线关于x=h这条直线对称

　　4、解析式为y=ax²+bx+c时，这时解析式为二次函数通用式，顶点坐标为(-b/2a，4ac-b²/4a)，抛物线关于x=-b/2a对称

　　拓展阅读：二次函数顶点式的推导过程

　　y=ax^2+bx+c

　　y=a(x^2+bx/a+c/a)

　　y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)

　　y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a

　　y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

　　对称轴x=-b/2a

　　顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　根据二次函数解析式形式的不同，顶点的计算方法也不同。下面是由出国留学网编辑为大家整理的“二次函数的顶点坐标怎么求”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　二次函数的顶点坐标

　　1、解析式为y=ax²时，顶点坐标为(0，0)，抛物线关于x=0这条直线对称

　　2、解析式为y=a(x-h)²时，这时解析式的形式就为顶点式，顶点坐标为(h，0)，抛物线关于x=h这条直线对称

　　3、解析式为y=a(x-h)²+k时，这时解析式的形式就为顶点式，顶点坐标为(h，k)，抛物线关于x=h这条直线对称

　　4、解析式为y=ax²+bx+c时，这时解析式为二次函数通用式，顶点坐标为

　　(-b/2a，4ac-b²/4a)，抛物线关于x=-b/2a对称

　　推导过程

　　y=ax^2+bx+c

　　y=a(x^2+bx/a+c/a)

　　y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)

　　y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a

　　y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

　　对称轴x=-b/2a

　　顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　二次函数的三种基本形式

　　1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0);

　　2、顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)，它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k);

　　3、交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2是图象与x轴交点的横坐标。

　　二次函数顶点坐标公式的推导过程是什么呢?感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。下面是由出国留学网小编为大家整理的“二次函数顶点坐标公式的推导过程”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　二次函数顶点坐标公式的推导过程

　　二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)

　　推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)

　　y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)

　　y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a

　　y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

　　对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　拓展阅读：二次函数的顶点表达式

　　y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k) [4] ，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大(小)值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

　　例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

　　解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。

　　注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

　　具体可分为下面几种情况：

　　当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到;

　　当h>0时，y=a(x+h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动h个单位得到;当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图像;

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动h个单位，再向下移动k个单位，就可以得到y=a(x+h)²-k的图像;

　　当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图像;

　　当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图像。

　　二次函数顶点坐标公式推导过程是怎样的呢?感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。下面是由出国留学网小编为大家整理的“二次函数顶点坐标公式推导过程”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　二次函数顶点坐标公式推导过程

　　二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0);

　　二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)。

　　推导过程：

　　y=ax^2+bx+c

　　y=a(x^2+bx/a+c/a)

　　y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)

　　y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a

　　y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

　　对称轴x=-b/2a

　　顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

　　拓展阅读：二次函数定义

　　一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数。

　　①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;

　　②二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，y=ax2+bx+c变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。

　　③二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。

　　二次函数的一般式公式

　　次函数一般式的形式通常为y=ax²+bx+c，又称作二次函数的解析式。

　　如果3个交点中有2个交点是二次函数与x轴的交点。

　　那么，可设这个二次函数解析式为：y=a(x-x1)(x-x2)(x1，x2是二次函数与x轴的2个交点坐标)，根据另一个点就可以求出二次函数解析式。

　　如果知道顶点坐标为(h，k)，则可设：y=a(x-h)²+k，根据另一点可求出二次函数解析式。

　　你们知道二次函数顶点坐标怎么算吗？感兴趣的小伙伴快来和小编一起看看吧。下面是由出国留学网小编为大家整理的“二次函数顶点坐标公式怎么算”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　二次函数顶点坐标公式怎么算

　　1.解析式为y=ax²时，顶点坐标为（0，0），抛物线关于x=0这条直线对称；

　　2.解析式为y=a（x-h）²时，这时解析式的形式就为顶点式，顶点坐标为（h，0），抛物线关于x=h这条直线对称；

　　3.解析式为y=a（x-h）²+k时，这时解析式的形式就为顶点式，顶点坐标为（h，k），抛物线关于x=h这条直线对称；

　　4.解析式为y=ax²+bx+c时，这时解析式为二次函数通用式，顶点坐标为（-b/2a，4ac-b²/4a），抛物线关于x=-b/2a对称。

　　拓展阅读：二次函数的性质有哪些

　　1.基本概念

　　一般地，我们把形如y=ax²+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

　　2.与X轴交点的情况当△=b²-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。

　　当△=b²-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。

　　当△=b²-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。

　　3.顶点二次函数图像有一个顶点P，坐标为P（h，k）即（-b/2a，4ac-b²/4a）

　　4.开口方向和大小二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

　　5.抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.

　　中考数学二次函数是必考考点也是重要内容之一，掌握它的解题方法轻松拿分。下面是由出国留学网小编为大家整理的“中考二次函数解题方法有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　中考二次函数解题方法有哪些

　　一、把握要点(也是中考的考点及要求)

　　1.理解二次函数概念、性质、含画二次函数的图像。

　　2.能确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴方程，以及抛物线与坐标轴的交点坐标。

　　3.含根据不同条件确定二次函数的'解析式。

　　4.灵活运用函数思想，数形结合思想解决问题。

　　二、要掌握二次函数解析式的三种形式，根据条件灵活运用，确定二次函数的解析式，适当做一些二次函数的实际应用问题，来提高分析和解决问题的能力。

　　三、二次函数是体现综合性的重点内容

　　从容易题到较难题中都会出现，也就是说每年中考试卷中即有相对稳定的基础题，也有新颖的试题来考查学生的分析，解决问题能力，实践和创新能力，因此经常与一次函数，三角形，四边形知识结合在一起，成为试卷的压轴题，中考数学参考《中考数学辅导：二次函数复习重在把握》。

　　四、学习二次函数注意如下几点

　　1.函数图像中点的横纵坐标与二条线段之间的转化。

　　2.函数题目中有关”函数语言“的理解及表达，例如二次函数图象过原点，将二次函数以轴翻折，系数即改变符号等等。

　　3.当绘画出函数图象后，一定要分析图像的性质及基本图形的特征，例如出现等腰直角三角形，平行四边形等等。

　　拓展阅读：中考数学复习的高效方法

　　1、吃透考纲把握动向

　　在复习中，很重要的一点是要有针对性，提高效率，避免做无用功。在对基本的知识点融会贯通的基础上，认真研究考纲，不仅要明确考试的内容，更要对考纲对知识点的要求了然于心。平时多关注近年中考试题的变化及其相应的评价报告，多层次、多方位地了解中考信息，使复习有的放矢，事半功倍。

　　2、围绕课本注重基础

　　从近几年的上海中考数学卷来看，都很重视基础知识，突出教材的考查功能。试题至少有一半以上来源于教材，强调对通性通法的考查。针对这一情况，王老师提醒考生，在剩下的不多的复习时间里，必须注意回归课本，围绕课本回忆和梳理知识点，对典型问题进行分析、解构、熟悉。只有透彻理解课本例题、习题所涵盖的知识重点和解题方法，才能以不变应万变。

　　3、针对专题攻克板块

　　复习中，应加强各知识板块的综合。对于重点知识的交叉点和结合点，进行必要的针对性专题复习。例如，函数是整个中学数学中非常重要的部分，可以以它为主干，与不等式、方程、相似形等结合起来，进行综合复习。

　　4、规范训练提高效率

　　学生常常把计算错误简单地归结为粗心，其实不然，这有可能是基础不牢固，也有可能是技巧不熟练。王老师建议考生，在复习阶段要注重培养自己在解题中的运算能力，每次练习做到熟练、准确、简捷、迅速。经验表明，每次作业、考试后建立的错题本，是学生检查和总结自身薄弱环节的有效方式。在复习阶段，考生需要的就是一些行之有效的方法，帮助他们更合理有效地利用时间，集中精力，提高效率。

　　5、有计划才有主动

　　之前智立方的老师就反复强调计划的重要性。王老师表示，从一...

　　二次函数的顶点坐标公式大家熟知吗?如果不太清楚，快来小编这里瞧瞧。下面是由出国留学网小编为大家整理的“二次函数的顶点坐标公式”，仅供参考，欢迎大家阅读。

　　二次函数的顶点坐标公式

　　对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。

　　1、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).

　　2、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.

　　抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);

　　(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|

　　当△=0.图象与x轴只有一个交点;

　　当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.

　　抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。

　　拓展阅读：学好初中数学的7个方法

　　一、主动预习

　　预习的目的是主动获取新知识的过程，有助于调动学习积极主动性，新知识在未讲解之前，认真阅读教材，养成主动预习的习惯，是获得数学知识的重要手段。

　　因此，要注意培养自学能力，学会看书。如自学例题时，要弄清例题讲的什么内容，告诉了哪些条件，求什么，书上怎么解答的，为什么要这样解答，还有没有新的解法，解题步骤是怎样的。抓住这些重要问题，动脑思考，步步深入，学会运用已有的知识去独立探究新的知识。

　　二、主动思考

　　很多同学在听课的过程中，只是简简单单的听，不能主动思考，这样遇到实际问题时，会无从下手，不知如何应用所学的知识去解答问题。

　　主要原因还是听课过程中不思考惹的祸。除了我们跟着老师的思路走，还要多想想为什么要这么定义，这样解题的好处是什么，这样主动去想，不仅能让我们更加认真的听课，也能激发对某些知识的兴趣，更有助于学习。

　　靠着老师的引导，去思考解题的思路;答案真的不重要;重要的是方法!

　　三、善于总结规律

　　解答数学问题总的讲是有规律可循的。在解题时，要注意总结解题规律，在解决每一道练习题后，要注意回顾以下问题：

　　(1)本题最重要的特点是什么?

　　(2)解本题用了哪些基本知识与基本图形?

　　(3)本题你是怎样观察、联想、变换来实现转化的?

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